Составители:
Рубрика:
36
Площадью поверхности Ω назовём предел суммы
1
n
Ti
i
ω
ω
=
=
∑
||, где | ω
i
| −
площадь площадки
ω
i
, когда диаметры этих площадок (или, соответственно,
площадок
D
i
) стремятся к нулю, т.е. когда d
T
→ 0.
Нормаль к поверхности
F(x,y,z) = z − f (x,y) = 0 задаётся градиентом в точ-
ке
М
i
:
,, , ,1
FFF f f
grad F
xyz x y
∂∂∂ ∂ ∂
⎛⎞⎛ ⎞
==−−
⎜⎟⎜ ⎟
∂∂∂ ∂ ∂
⎝⎠⎝ ⎠
.
Запишем единичный вектор
n
нормали:
()
cos ,cos ,cos
grad f
n
grad f
α
βγ
==
,
2
2
1
ff
gradf
xy
∂∂
⎛⎞
⎛⎞
=
++
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
.
Теперь можно найти угол
γ, ( /2
γ
π
< ), который нормаль образует с осью OZ:
()
()
2
2
1
cos
1
xy
ff
γ
=
′′
++
.
Поскольку
D
i
− проекция ω
i
на плоскость OXY, то⎥D
i
⎥ = ⎥ω
i
⎥ cos γ, (рис. 20б).
Тогда
0
22
0
1
cos cos
1.
cos
T
T
i
Ti i
d
xy
d
DD
D
D
dxdy
ff
dxd
y
ωω
γγ
γ
→
→
== = ⋅→
′′
→=++
∑∑ ∑
∫∫ ∫∫
||
||
Таким образом,
площадь поверхности Ω, заданной уравнением z = f (x,y)
вычисляется по формуле:
22
1
xy
D
ff
dxd
y
′′
Ω= + +
∫∫
|| , (1)
где
D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
