Составители:
Рубрика:
38
Из уравнения верхней полусферы получаем:
222
zax
y
=−−
222 222
,
xy
xy
zz
ax
y
ax
y
−
−
′′
⇒= =
−− −−
.
Подставляя эти значения в формулу (1), находим
()
()
2
2
1
22
222 222
2
22
222 22
00
221
21
224.
xy
D
D
b
D
z z dxdy
xy
dxdy
axy axy
dxdy rdr
aadaaab
axy ar
π
ϕπ
′′
Ω= Ω = + + =
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
=+ + =
⎜⎟⎜⎟
−− −−
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
===−−
⎜⎟
⎝⎠
−− −
∫∫
∫∫
∫∫ ∫ ∫
|| | |
Здесь
D – проекция рассматриваемой поверхности на плоскость ОХY, т.е. круг
радиуса
b с центром в начале координат, который вырезает на плоскости ОХY
цилиндр
x
2
+ y
2
= b
2
. Двойной интеграл был вычислен с помощью перехода к
полярным координатам.
Замечание. Строго говоря, область D в примере 1 не удовлетворяет ус-
ловиям, накладываемым на области при переходе к полярным координатам, а
именно, она содержит начало координат (см. рис. 16). Тем не менее, получен-
ный в примере 1 результат остается справедливым. Для его обоснования следо-
вало бы вырезать из области
D некоторую малую окрестность точки (0,0), на-
пример круг радиуса
ε с центром в этой точке, а затем провести предельный пе-
реход при
ε→0.
ПРИМЕР 2. Найти площадь поверхности геликоида (рис. 22), заданного
параметрическими уравнениями:
x = r cos φ, y = r sin φ, z = b φ, 0 < r ≤ a, 0 ≤ φ < 2π.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
