Составители:
Рубрика:
41
если этот предел существует и не зависит от выбора окрестностей Δ
δ
. (Напом-
ним, что область
\D
δ
Δ состоит из точек, принадлежащих области D, но не
принадлежащих области
Δ
δ
).
Аналогично могут быть определены несобственные тройные интегралы.
Для несобственных кратных интегралов, подобно тому, как это делалось
ранее, можно определить понятие абсолютной сходимости, а также сформули-
ровать теоремы сравнения.
ПРИМЕР 1. Исследовать на сходимость интеграл
2
22
(1 )
dxdy
I
xy
α
=
++
∫∫
.
Используем определение. В качестве областей
D
n
возьмем круги радиусов
n, т.е. D
n
={ х
2
+ у
2
≤ n
2
}. Имеем D
1
⊂ D
2
⊂ D
3
⊂ … ⊂ D
n
⊂ R
2
… и D
n
→ R
2
при
n → ∞. Таким образом, области D
n
можно использовать для определения
интеграла
I:
2
22 2 2
00
(1 ) (1 ) (1 )
nn
n
n
DD
dxdy d d d
Id
xy
π
αα α
ρρϕ ρρ
ϕ
ρρ
====
++ + +
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
()
()
2
1
2
2
0
2
1
1,
(1 )
1
1
(1 )
ln 1 ,
n
d
n
n
α
α
π
ρ
α
π
ρ
π
−
⎧
⎛⎞
⎪
⎜⎟
⋅−
⎪
⎜⎟
+
⎪
−
==
⎜⎟
⎨
+
⎝⎠
+
⎪
⎪
⋅+
⎪
⎩
∫
Откуда
,1;
lim
,1.
1
n
n
I
α
π
α
α
→∞
∞≤
⎧
⎪
=
⎨
>
⎪
−
⎩
при
α
≠ 1;
при
α
= 1.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
