Составители:
Рубрика:
42
Таким образом, при α ≤ 1 интеграл I расходится, а при α > 1 сходится и имеет
значение
1−
α
π
.
Формулы интегрирования под знаком интеграла позволяют, в частности,
вычислить важный интеграл Лапласа, подынтегральная функция которого не
может быть проинтегрирована в элементарных функциях:
ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл Лапласа:
.
0
2
dxeI
x
∫
∞
−
=
Пусть область
D представляет собой первый квадрант плоскости OXY. За-
пишем двойной интеграл
22 22 2 2 2
2
2
00 0 0 0
xy xy x y x
D
edxd
y
dx e d
y
edx ed
y
edx I
∞∞ ∞ ∞ ∞
−− −− − − −
⎛⎞
=
=×= =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.
Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам:
22 2
222
/2
2
00
2
0
00
1
.
222 44
xy r
D
rrr
Ie dxdyrdrde
re dr e dr e
π
ϕ
π
πππ
∞
−− −
∞∞
∞
−−−
==⋅=
==⋅=−=
∫∫ ∫ ∫
∫∫
Отсюда получаем интеграл Лапласа:
2
0
2
x
Iedx
π
∞
−
==
∫
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
