Составители:
Рубрика:
78
Теорема 1. Если Г – непрерывная кусочно-гладкая кривая и функция
f(M) непрерывна на ней, то криволинейный интеграл I-го рода (3) от функции
f(M) существует и определен однозначно.
Теорема 2. Если кривая
Г задана уравнениями (1), а функция f(M) не-
прерывна на
этой кривой, то криволинейный интеграл I-го рода от функции
f(M) находится по формуле
222
() (,,)
( (), (), ()) () () () .
b
a
f M ds f x y z ds
f
xt
y
tzt x t
y
tztdt
ΓΓ
==
′′′
=⋅++
∫∫
∫
(4)
Замечание. При использовании формулы (4) следует обращать внима-
ние на то, чтобы при изменении параметра
t от а до b дифференциалы ds и dt
были неотрицательными, поскольку выражение
dttztytxds )()()(
222
′
+
′
+
′
=
.
задает элемент длины дуги, который отрицательным быть не может.
ПРИМЕР 1. Найти интеграл
(
)
22
AB
xy
ds
∪
+
∫
, где кривая Г – дуга ок-
ружности с центром в начале координат и радиуса 1 между точками
А(0, 1) и
В(1, 0) (рис.3).
Введем на кривой
Г параметризацию:
cos , sin , [0, / 2]xtytt
π
=
=∈
. То-
гда
() ()
22
sin , cos , sin cos
x
tt
y
t t ds t tdt dt
′′
=− = = + =− . Здесь модуль рас-
крывается со знаком « – » поскольку при интегрировании от точки
А до точки
В параметр t изменяется в интервале от π /2 до 0 и, следовательно, dt < 0. При-
меняя формулу (4), получим:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
