Составители:
Рубрика:
91
ной работе, совершаемой на всех элементарных дугах:
∑
−
=
=
1
0
n
k
k
AA . Переходя к
пределу, получаем
() ()
dyyxQdxyxPAA
n
k
k
y
x
k
k
k
k
,,lim
1
0
0max
0max
+==
∫
∑
Γ
−
=
→Δ
→Δ
,
т.е. работа равна криволинейному интегралу II-го рода от силы
F
по дуге Г.
Для рассматриваемого примера работа выражается интегралом
()
dydxyxA +−=
∫
Γ
.
Проведем параметризацию кривой
Г: x = 2cos t, y = 2sin t, 0 ≤ t ≤ π. То-
гда, используя теорему 2 пункта 6.2, получаем
()()
()
()( )
0
2
0
0
0
2cos 2sin 2sin 2cos
2 2sin cos 2sin cos
2 sin 2 1 cos 2 cos cos 2 2 sin 2 2sin 2 .
Attttdt
tt t tdt
tttdttttt
π
π
π
π
π
⎡⎤
=−⋅−+=
⎣⎦
=− ⋅ + + =
=− +− + = +− + =
∫
∫
∫
6.4. Связь криволинейных интегралов I и II рода.
Пусть на плоской кривой Г даны две произвольные точки M
1
и M
2
(рис.12). Обозначим через Δs длину кривой между точками M
1
и M
2
, через Δx
– абсциссу вектора
12
M
M
, а через Δy – его ординату.
Из криволинейного треугольника
M
1
M
2
D (рис.12) по теореме Пифагора
получаем:
2
222
12
s
MM x
y
Δ≈ =Δ+Δ
. Пусть φ – угол между вектором
21
MM
и осью абсцисс, а α – угол между касательной к кривой
Г в точке M
1
(предель-
ным направлением вектора
21
MM
при Δs→0) и положительным направлени-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
