Составители:
Рубрика:
96
(*). Введем на дуге
MN
∪ параметризацию: х = t, y = φ
2
(x), a ≥ t ≥ b.
Тогда, учитывая направление движения,
() () () ( )
22 2
,,(),(),()
abb
MN b a a
P
x
y
dx P t t dt P t t dt P x x dx
ϕϕ ϕ
∪
==−=−
∫∫ ∫ ∫
.
Записывая аналогичное утверждение для интеграла
()
dxyxP
KL
∫
∪
,
, убежда-
емся в правильности равенства (*).
(**). Равенство (**) может быть получено, если к интегралам
()
dxyxP
MN
∫
∪
,
и
()
dxyxP
KL
∫
∪
,
добавить нулевые слагаемые
()
dxyxP
NK
∫
∪
,
и
()
dxyxP
LM
∫
∪
, . Действительно, интеграл
(
)
,
NK
P
x
y
dx
∪
∫
равен нулю, т.к. x = const
на отрезке
NK, а значит dx
= 0.
Аналогично равен нулю интеграл
(
)
,.
LM
P
x
y
dx
∪
∫
(***). Это равенство следует из свойства аддитивности криволинейных
интегралов: граница
Г(D) области D представляет собой объединение:
() ( ) ( ) ( )
(
)
LMKLNKMND ∪∪∪∪=Γ ∪∪∪ .
Итак, для правильных областей I-го типа имеет место формула:
()
()
()
dxyxPdxdy
y
yxP
DD
∫∫∫
Γ
−=
∂
∂
,
,
. (1)
Эта формула справедлива и для областей, которые можно разбить на конечное
число правильных областей I-го типа прямыми, параллельными оси
OY.
Докажем это, например, для области
D, изображенной, на рис.16. Разо-
бьем область
D отрезками MK и NG на правильные области D
1
, D
2
, D
3
и D
4
.
Тогда интеграл по границе
Г(D) области D равен сумме интегралов по грани-
цам областей
D
1
, D
2
, D
3
и D
4
, т.к. отрезки ML, LK, NF и FG, не входящие в
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
