Составители:
Рубрика:
9
тельные – значения. Тогда, переобозначив величину
± C через новую постоян-
ную
C произвольного знака, приходим к записи (#). Одновременно, при C = 0
формула (#) описывает и тривиальное решение
y = 0 исходного дифференци-
ального уравнения, которое было потеряно в ходе разделения переменных. В
дальнейшем окончательная запись общего решения дифференциального вида
(#) с постоянной
C произвольного знака будет применяться без приведенных в
данном замечании рассуждений.
Примеры для самостоятельного решения.
1.
2
1
cos
xy
y
′
=
2.
x
y
dy
e
dx
−
=
3.
32 3
2yxy xy
′
=+ 4.
2
tg 3xy y
′
⋅
=+
5.
22
(2)(4)0ydxxdy++−= 6.
0
ln
dy
ydx
x
+
=
ПРИМЕР 3. Решить уравнение tg
yy
y
x
x
′
=
+ .
☺ Решение. Данное уравнение представляет собой однородное дифференци-
альное уравнение 1-го порядка
. Произведем замену неизвестной функции:
;;
y
uyuxyuxu
x
′′
== =+
Тогда для новой неизвестной функции
u(x) получим дифференциальное урав-
нение с разделяющимися переменными:
tg tg
tg
du du dx
ux u u u x u
dx u x
′
+= + ⇒ = ⇒ =
Интегрируя обе части равенства, получаем
cos
ln | sin | ln | | ln sin
sin
udx
du u x C u Cx
ux
=⇒ =+⇒ =
∫∫
Теперь можно вернуться к исходной неизвестной функции
y:
sin( / )
y
xCx=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
