Составители:
Рубрика:
16
Подставим теперь полученную функцию
u(x) в уравнение (*):
10
10
11
x
d
x
xdx
x
−
′
=
⋅⇒=
v
v
Разделение переменных и интегрирование дает вторую из введенных
функций, а именно
v(x):
9
10
9
x
dxdx C
−
−
=⇒=−+
∫∫
vv
Теперь может быть получена искомая функция
y(x), представляющая со-
бой общее решение заданного дифференциального уравнения:
9
11
9
yu y C
x
x
⎛⎞
=⇒=⋅−+
⎜⎟
⎝⎠
v
) Замечание. На первом этапе производился поиск любой функции u(x), об-
ращающей в нуль выражение в скобках из уравнения (*). Поэтому в ходе ин-
тегрирования постоянную можно было выбрать произвольным образом. В ча-
стности, в примере 1 (и везде далее) ее было удобно выбрать равной нулю. При
нахождении функции
v(x) произвольная постоянная интегрирования должна
быть обязательно записана, иначе вместо общего решения исходного уравнения
было бы найдено лишь какое-то из его частных решений!
ПРИМЕР 2. Решить уравнение
2
(2 )
x
yy y
′
+
= .
☺ Решение. Очевидно, что данное уравнение не является линейным относи-
тельно неизвестной функции
y(x). Тем не менее, оно может быть сведено к та-
ковому. Действительно, запишем уравнение в виде
22
(2 ) 2
dy dx
x
yyyxy
dx dy
+=⇒=+
Теперь, если считать переменную
x неизвестной функцией аргумента y, то по-
лученное равенство есть линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
