Составители:
Рубрика:
17
относительно функции
x(y). Для его решения произведем замену неизвестной
функции
x(y), введя две новые функции u(x) и v(x) по формуле:
;
dx
xu u
dy
′
′
==
vv+uv
Заметим, что здесь знак (
′) представляет собой знак дифференцирования по пе-
ременной
y. Уравнение теперь запишется в виде
2
(2yu u y
′
′
=+
v+uv) v
Проведем перегруппировку слагаемых:
22
22yyyu u y yu u y
′′
+
′′
=+ ⇒ − =
vuv v v+uvv ,
и
2
(2)yyu u y
′
′
−=
+uvv (*)
Найдем функцию
u(y), которая обратила бы в нуль выражение в скобках:
20 2 2
du du dy
yu u y u
dy u y
′
−= ⇒ = ⇒ =
Интегрируя, получаем
2
2 ln | | 2ln | | ln | | ln | |
du dy
uy uy
uy
=⇒= ⇒=
∫∫
Отсюда находим функцию
u(y):
2
uy=
Подставим полученную функцию u(y) в уравнение (*):
22
1ddy
yy y d
dy y y
′
⋅= ⇒ =⇒=
v
vv
,
или, после интегрирования:
ln | |
dy
dyC
y
=⇒=+
∫∫
vv
Теперь может быть найдена искомая функция
x(y):
2
(ln | | )
x
uxyyC=⇒= +v ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
