Составители:
Рубрика:
26
(
)
(
)
22 33
11
33 3323
11
1
( ln| | 3 ) ln| |
3
11
ln|| ln|| ln||
33
yx xCxdx xdxCx
x
xxdxCx x xxdxCx
=+= +=
=−+=−+
∫∫
∫∫
Теперь, окончательно, находим
общее решение исходного дифференциального
уравнения 2-го порядка (оно, как это следует из теории, содержит две произ-
вольные постоянные):
333
12
11
ln | |
39
yx x xCxC=−++
ПРИМЕР 3. Решить уравнение
() ()
23
0yy y y y
′′ ′ ′
−
+=
☺ Решение. Данное дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит
явно переменную
x. Порядок уравнения можно понизить, если ввести новую
неизвестную функцию
p(y) по формулам
()ypy
dp
yp
dy
′
=
′′
=
Новая функция
p(y) удовлетворяет дифференциальному уравнению
23 2
00
dp dp
yp p yp p y p yp
dy dy
⎛⎞
−
+=⇒ −+ =
⎜⎟
⎝⎠
Здесь возможны два случая:
1)
p = 0. Тогда y′ = 0, или y = C ;
2)
2
0
dp
ypyp
dy
−+ =
. Это выражение представляет собой дифференци-
альное уравнение Бернулли с показателем степени
α = 2 относительно неиз-
вестной функции
p(y). Для его решения выполняем замену
;pu p u u
′
′′
==+
vvv
(Здесь штрих означает производную по переменной
y).
Тогда уравнение перепишется в виде
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
