Составители:
Рубрика:
53
ПРИМЕР 1. Решить уравнение
1
3
x
y
y
xy
+
+
′
=
−
−
☺ Решение. Заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка можно све-
сти к однородному
. Решая систему
oo
oo
10
30
xy
xy
++=
⎧
⎨
−−=
⎩
получим
x
o
= 1, y
o
= – 2. Выполняя замену переменных
1
2
x
x
yy
=−
=+
и учитывая, что
(2)
(1)
dy d y dy
y
dx d x dx
−
′
== =
+
, получим из исходного уравнения
однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:
121
123
dy x y x y
dx x y x y
+
+−+ +
==
+
−+− −
Для его решения вводим новую неизвестную функцию
u = u(x):
;;
ydydu
uyux xu
x
dx dx
== =+
В результате уравнение принимает вид
1
1
du u
xu
dx u
+
+=
−
Теперь можно разделить переменные:
2
2
11 (1)
11
1
du u u u du dx
xu
dx u u x
u
++ −
=−= ⇒ =
−−
+
и проинтегрировать обе части:
2
2
(1 ) 1
arctg ln(1 ) ln | |
2
1
udu dx
uuxC
x
u
−
= ⇒ −+=+
+
∫∫
Для того чтобы получить
общий интеграл исходного уравнения, осталось
лишь вернуться к исходным переменным:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
