Составители:
Рубрика:
55
после чего общее решение уравнения (2) записывается в виде
F(x, y) = С
) Замечание. В некоторых случаях дифференциальное уравнение вида (2)
можно свести к уравнению в полных дифференциалах с помощью почленного
умножения на некоторую функцию двух переменных
μ
(x, y) ≠ 0, называемую
интегрирующим множителем. Общих методов поиска интегрирующего
множителя не существует. Иногда его можно найти в виде
(, )
ab
x
yxy
μ
= .
ПРИМЕР 2. Решить уравнение
22
2(3)0xydx x y dy
+
+=
☺ Решение. Поскольку выполнено условие
22
(2 ) ( 3 )
x
yxy
yx
∂∂+
=
∂∂
,
заданное дифференциальное уравнение является
уравнением в полных диффе-
ренциалах
.
Найдем функцию
F(x, y), дифференциал которой стоит в левой части
уравнения. Имеем
22
2, 3
FF
x
yxy
xy
∂∂
==+
∂∂
. (3)
Поэтому
2
(, ) 2 ()Fxy xydx xy y
ϕ
==+
∫
(Заметим, что поскольку интегрирование велось по переменной
x, то произ-
вольная постоянная интегрирования является функцией переменной
y).
Теперь, используя второе из условий (3), получаем
2
222
(())
3
Fxyy
x
xy
yy y
ϕϕ
∂∂ + ∂
==+=+
∂∂ ∂
Отсюда находим функцию
ϕ
(y):
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
