Составители:
Рубрика:
61
Обобщенно однородные уравнения.
Сведения из теории:
Если дифференциальное уравнение не изменяется при замене переменной
x на величину kx, а переменной y на величину k
m
y, (m = const), то оно называет-
ся
обобщенно однородным. Для решения обобщенно однородного уравнения
производится замена переменных
t
mt
xe
yze
⎧
=
⎪
⎨
=⋅
⎪
⎩
(11)
где
z = z(t) – новая неизвестная функция, а t – новая независимая переменная.
Полученное в новых переменных дифференциальное уравнение не содержит
явно аргумент
t и, следовательно, допускает понижение порядка.
) Замечание. На практике, для того, чтобы выяснить, является ли дифферен-
циальное уравнение обобщенно однородным, и найти соответствующее число
m, нужно приравнять показатели степени c основанием k для каждого из сла-
гаемых в уравнении. При этом для переменной
x соответствующий показатель
есть
1, для функции y показатель степени равен m, для функции y′ показатель
равен
m – 1, для функции y′′ показатель m – 2 и т.д. Так, например, обобщен-
но однородным является уравнение
26
35
x
yxy x
′′ ′
+= , поскольку приравни-
вание степеней c основанием
k для его слагаемых дает
2( 2)1( 1)6mm+−=+−=
,
откуда
m = 6.
ПРИМЕР 5. Решить уравнение
22
23
x
yyx
′′
=+ .
☺ Решение. Проверим, является ли заданное уравнение обобщенно однород-
ным, и найдем показатель
m:
2( 2) 2mm+−==
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
