Составители:
Рубрика:
29
Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Вероятность того, что в
n независимых испытаниях (n1) событие A
произойдет от
k
1
до k
2
раз, приближенно можно найти по формуле
21
12
()
n
knp knp
Pk k k
npq npq
⎛⎞⎛⎞
−−
≤≤ =Φ −Φ
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
,
где
p − вероятность успеха в каждом испытании, q = 1 − p. Функция Лапласа
2
/2
0
1
()
2
x
t
x
edt
π
−
Φ=
∫
представлена в таблицах (см. Приложение).
Следствие. Пусть m / n − относительная частота появления успеха (со-
бытия
A) в n испытаниях Бернулли при вероятности p каждого успеха. Тогда
вероятность отклонения относительной частоты от вероятности по абсолютной
величине менее чем на
ε находится по формуле
2
mn
Pp
npq
εε
⎛⎞
⎧⎫
−< =Φ
⎨⎬
⎜⎟
⎩⎭
⎝⎠
.
Замечание. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа обес-
печивают приемлемую точность, если вероятность
p каждого успеха удовле-
творяет ограничениям:
1
1
p
n
>
+
или
1
n
p
n
<
+
, т.е. p не слишком мала и не
близка к единице.
ПРИМЕР 1. Монету бросают 6 раз. Какова вероятность, что герб выпадет
ровно четыре раза?
Решение.
В данных испытаниях Бернулли n =6, p =0,5. По формуле
(1) имеем
42
4
66
6
11 6!115
(4)
2 2 4!2! 64
2
PC
⎛⎞⎛⎞
==⋅=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
