Вероятность в примерах и задачах для нефтегазового образования: Сборник задач. Калинин В.В - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

75
ПРИМЕР 2. Случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке
[0;1]. Найти плотность распределения случайной величины
η = ξ
2
.
Решение. В этом примере
[
]
2
() , 0;1yxxy
ϕ
== ∈, откуда
x
y=
Учи-
тывая, что
1)( =xf
ξ
, получим
{}
{
}
{
}
2
00
()
() , (0 1)
0
yy
Fy P y P y P y
f x dx dx y y
ξ
ηξ ξ
=<= <=<<=
=
=<≤
∫∫
=
Следовательно, функция распределения
0, 0
() , 0 1
1, 1
y
F
yyy
y
≤
=
<≤
>
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Плотность распределения случайной величины
η будет равна
1
, 0 1
2
() '()
0, [0,1]
y
y
fy Fy
y
η
<
==
∉
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
ПРИМЕР 3. Составить композицию нормального закона распределения
случайной величины
ξ с плотностью
2
2
1
() ,
2
x
fx e x
ξ
π
−
=
−∞< <+∞
и рав-
номерного закона случайной величины
η с плотностью
[]
1
() , 1;1
2
fy y
η
=∈−,
т.е. найти плотность распределения случайной величины ζ =
ξ + η, при условии
что величины
ξ и η независимы.
Решение. Применим формулу композиции законов распределения
2
()
1
2
1
11
() ( ) ( )
2
2
zy
f
z
fyf
z
y
d
y
ed
y
ηξ
π
−
+∞
−
−∞ −
=−=
∫∫
,
Произведем в интеграле замену переменной:
z – y = u, тогда du = – dy. Тогда
получим плотность распределения случайной величины ζ =
ξ + η:

Страницы