Теория исключения. Калинина Е.А - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

= x
6
R(a
03
y
3
+ a
12
y
2
+ a
21
y + a
30
,b
02
y
2
+ b
11
y + b
20
)+...
А для произвольных m и n получим
X(x)=A
0
x
nm
+ A
1
x
nm−1
+ ...+ A
nm
(9.2)
и аналогично
Y(y)=B
0
y
nm
+ B
1
y
nm−1
+ ...+ B
nm
при
A
0
def
= R(f
n
(1,y),g
m
(1,y)) и B
0
def
= R(f
n
(x, 1),g
m
(x, 1)) . (9.3)
Упражнение 9.1. Доказать, что старшие коэффициенты X(x) и Y(y)
совпадают с точностью до знака.
Подсказка. Воспользоваться результатом примера 1.3.
Упражнение 9.2. Доказать, что
A
nm
= R(f(0,y),g(0,y)) и B
nm
= R(f(x, 0),g(x, 0)) .
Замечание. Итак, мы выяснили смысл выражения “как правило”из
формулировки теоремы Безу: если число A
0
, определяемое формулой (9.3),
отлично от нуля. Подчеркнем, что это число зависит только от старших
форм (8.1) в разложениях f(x, y)иg(x, y).
Упражнение 9.3. Установить структуру множества решений систе-
мы (7.4) при
f(x, y)
def
=
n
j=1
(a
j
x + b
j
y + c
j
),g(x, y)
def
=
m
k=1
(A
k
x + B
k
y + C
k
) .
При каком условии система имеет бесконечное множество решений?
Замечание. Упражнения 7.5 и 9.3 позволяют дать следующую гео-
метрическую интерпретацию теоремы Безу. Алгебраические кривые
f(x, y)=0иg(x, y) = 0 можно рассматривать как сильно деформирован-
ные семейства прямых, причем если в произвольной ограниченной области
плоскости деформация еще заметна, то на бесконечности кривые продолжа-
ют вести себя “почти как прямые”. Теорема Безу утверждает, что число
точек пересечения алгебраических кривых остается инвариантным при де-
формации этих кривых — по крайней мере, до тех пор, пока асимптоты не
станут параллельными.
Упражнение 9.4.
6
Касательной нормалью гладкой кривой K на плос-
кости (x, y) назовем прямую, касательную кривой K в одной точке и одновре-
менно перпендикулярную ей в другой. Установить максимально возможное
число касательных нормалей графика y = f(x),гдеf(x) ∈ R[x], deg f>2.
6
Задача E2886 из журнала American Mathematical Monthly, Т.91, №5, 1984.
54

Страницы