Теория исключения. Калинина Е.А - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

10 Исключительные случаи теории
исключения
Нас будут интересовать случаи, когда либо обращается в нуль числа (9.3),
либо нарушаются условия (8.2).
I. Пусть A
0
= R(f
n
(1,y),g
m
(1,y)) = 0. Возможны следующие случаи:
а) Число решений системы понижается.
Пример 10.1. Решить систему уравнений
!
f(x, y)=x
3
+3x
2
y +3xy
2
+ y
3
− yx − y
2
+ x +2y =0 ,
g(x, y)=x
2
+2xy + y
2
− y =0 .
Решение. Элиминанты этой системы имеют степени меньшие, чем
оценка Безу:
X(x)=x(x +2), Y(y)=y(y − 1), deg X =degY =2<mn=6 .
Действуя согласно алгоритму §8 , получаем систему в виде двух уравнений
X(x)=0, −2y − x =0,
эквивалентную исходной. Последняя имеет два решения: (0, 0), (−2, 1).
Теорема 10.1. Пусть deg(НОД (f
n
(1,y),g
m
(1,y))) = d. Тогда число ре-
шений системы уменьшается по крайней мере на d.
Теорема дает лишь достаточное условие понижения степени, как видно
из примера 10.1 или 10.2.
Пример 10.2. Решить систему уравнений
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
f(x, y)=x
2
− 4xy +3y
2
−
3
13
x +
45
13
y +
126
169
=0 ,
g(x, y)=x
2
− xy − 6y
2
+
16
13
x +
42
13
y +
1266
169
=0 .
Решение. Здесь
X(x)=
378
169
−6 x
2
+
8701
13
x +
726
169
,
ихотяdegX понижается на 2 по отношению к оценке Безу, при
A
0
= R(f
n
(1,y),g
m
(1,y)) = R(1 −4y +3y
2
, 1 − y −6y
2
)=0 ,
55

Страницы