Составители:
Рубрика:
в) Система решений не имеет (несовместна).
Пример 10.5. Решить систему уравнений
f(x, y)=x
2
− y
2
+1=0,g(x, y)=x −y =0 .
Решение. Здесь X(x) ≡ 3 =0ниприодномx ∈ C.
Ответ. Система несовместна.
Рассмотренными примерами исчерпываются все возможные случаи для
числа решений системы (7.4): оно либо бесконечно, либо не превосходит mn.
II. Пусть нарушено условие (8.2).
Чисто формально это может привести к невозможности конструкции
X(x) по формуле (8.4): если a
0n
= b
0m
=0,тоX(x) ≡ 0. В этом слу-
чае степени полиномов f(x, y)иg(x, y), рассматриваемых как полиномы от
y, становятся меньшими, чем n и m соответственно. Это обстоятельство
необходимо учитывать при построении результанта в виде определителя
матрицы M , так как ее порядок должен понизиться.
Пример 10.6. Решить систему уравнений
f(x, y)=xy − 1=0,g(x, y)=x
2
+2xy − 1=0 .
Решение. Вычисляя R
y
(f, g) как результант полиномов первой степе-
ни, запишем:
X(x)=x(x
2
+1) ⇒ α
1
=0,α
2,3
= ±i .
Однако α
1
= 0 не соответствует ни одному решению: f(0,y)=g(0,y)=
−1 = 0. Только значения α
2,3
определяют решения системы: им соответ-
ствуют β
2,3
= ∓i . В объяснение факта появления “лишнего” корня у эли-
минанты обратим внимание на то, что при x = 0 степени полиномов f и g
понижаются, и этот эффект проявляется при построении элиминанты в ви-
де определителя матрицы M. Заметим, что вторая элиминанта Y(y)=y
2
+1
не имеет “лишнего” корня.
Ответ. Система имеет 2 решения: (±i , ∓i ).
Пример 10.7. Решить систему уравнений
f(x, y)=xy − 1=0,g(x, y)=x
2
y + x −2=0 .
Решение. Каждая из элиминант этой системы
Y(y)=−2y(y − 1), X(x)=2x(x − 1)
имеет “лишний” корень, в результате порождается “ложное” решение (0, 0).
Причина эффекта та же, что и в предыдущем примере. Единственным
решением системы будет (1, 1).
57
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
