Теория исключения. Калинина Е.А - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Для контроля подобных случаев необходимо проверять подозрительные
значения переменных, т.е. те из них, которые понижают степени исходных
уравнений.
Пример 10.8. Решить систему уравнений
!
f(x, y)=y
2
x
2
− xy
2
− 2 y
2
+ yx
3
+2x
2
y +3xy +2x − 4 y +10=0 ,
g(x, y)=x
2
y − 3 xy +2y +2x
3
− 6=0 .
Решение. Раскладываем полиномы системы по степеням y
f(x, y)=(x
2
− x − 2)y
2
+(x
3
+2x
2
+3x −4)y +2x +10,
g(x, y)=(x
2
− 3 x +2)y +2x
3
− 6
и составляем элиминанту по x:
X(x)=2x
8
− 2 x
7
− 6 x
6
+2x
5
− 20 x
4
+24x
3
+88x
2
− 40 x − 80 =
=2(x − 2)(x +1)(x
2
− 2)(x
4
+ x
2
− 10) .
Ищем подозрительные корни X(x):
НОД
(
X(x), (x
2
− x − 2)
)
= x
2
− x − 2=(x − 2)(x +1) .
Итак, при x = −1иx = 2 степень полинома f(x, y)поy понижается. По-
скольку f(−1,y)=−6 y +8, g(−1,y)=6y − 8, то корню x = −1соответ-
ствует решение системы (−1,
4
/
3
). Что же касается корня x =2,тоздесь
ситуация иная: f(2,y)=18y + 14, g(2,y) = 10 и система несовместна.
Ответ. Решения системы:
(−1,
4
/
3
); (±
√
2, ∓
√
2);
±
1
/
2
*
−2+2
√
41;
3
/
4
√
41 +
9
/
4
±
1
/
4
*
242 + 38
√
41
;
±
1
/
2
i
*
2+2
√
41, −
3
/
4
√
41 +
9
/
4
± i
1
/
4
*
−242 + 38
√
41
.
Упражнение 10.1. Решить системы уравнений
а) x
2
+ y
2
− 9=0 ,
x
2
+ y
2
+2x − y −3=0 ;
б )2x
2
− 3xy + y
2
+4x − 4=0 ,
−x
2
+ y
2
− 2x − 3y +5=0 ;
в)5x
2
− 5y
2
− 3x +9y =0 ,
58

Страницы