ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Решение
Для упрощения интегрирования по формуле 2.11 используем симметрию
заданной фигуры и выделим в ней элемент объема в виде диска толщиной dh
(рис. 2.5). Радиус r этого диска зависит от расстояния h от вершины конуса.
Так как высота конуса равна радиусу ос-
нования, то из геометрических соображе-
ний следует, что r = h. Тогда объем выде-
ленного элемента можно записать
в виде
dhhdhrdV
22
π
π
=
= .
Его масса dm =
ρ
dV, где
ρ
- плотность
материала, из которого изготовлен волчок.
Момент инерции этого элемента объе-
ма определим по известной формуле для
момента инерции диска
.
2
1
2
1
42
dhhdmrdI
πρ
==
0’
h
dh
0
Рис.2.5.
Интегрируя это выражение, найдем момент инерции для одного из конусов
волчка
5
0
4
10
1
2
1
RdhhdII
R
K
πρπρ
===
∫∫
. Удвоив его, получим искомый
момент инерции всего волчка
5
2,02 RII
K
πρ
== .
Для получения расчетной формулы определим плотность материала волч-
ка
K
V
m
V
m
2
==
ρ
, где V
K
– объем одного из конусов. Соответствующая фор-
мула для объема конуса известна из школьного курса геометрии
32
3
1
3
1
RHRV
KK
ππ
=⋅= .
Тогда
3
2
3
R
m
π
ρ
= , а момент инерции
25
3
3,0
2
3
2,0 mRR
R
m
I ==
π
π
.
Выполнив расчет, получим
I = 1,5
.
10
-4
кг
.
м
2
.
Пример 9
Решение
Для упрощения интегрирования по формуле 2.11 используем симметрию
заданной фигуры и выделим в ней элемент объема в виде диска толщиной dh
(рис. 2.5). Радиус r этого диска зависит от расстояния h от вершины конуса.
Так как высота конуса равна радиусу ос-
нования, то из геометрических соображе- 0’
ний следует, что r = h. Тогда объем выде-
ленного элемента можно записать в виде h
dV = πr 2 dh = πh 2 dh . dh
Его масса dm = ρdV, где ρ - плотность
материала, из которого изготовлен волчок.
Момент инерции этого элемента объе-
ма определим по известной формуле для
момента инерции диска
0
1 1
dI = r 2 dm = πρh 4 dh.
2 2 Рис.2.5.
Интегрируя это выражение, найдем момент инерции для одного из конусов
R
1 1
волчка I K = ∫ dI = ∫ πρh 4 dh = πρR 5 . Удвоив его, получим искомый
02 10
момент инерции всего волчка I = 2 I K = 0,2πρR .
5
Для получения расчетной формулы определим плотность материала волч-
m m
ка ρ= = , где VK – объем одного из конусов. Соответствующая фор-
V 2VK
мула для объема конуса известна из школьного курса геометрии
1 1
VK = πR 2 ⋅ H K = πR 3 .
3 3
3m
Тогда ρ= , а момент инерции
2πR 3
3m 5
I = 0,2π R = 0,3mR 2
.
2πR 3
. -4
Выполнив расчет, получим I = 1,5 10 кг.м2.
Пример 9
