ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Маховик, имеющий момент инерции I = 1 кг
.
м
2
, начинают раскручивать
так, что его угловая скорость меняется по закону
2
0
2π
ωωsin
τ
t
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
, где
τ
= 4
с,
ω
0
= 31,4 рад/с. Определит момент внешних сил, действующих на маховик
через 1 с после начала движения и запасенную к этому моменту времени кине-
тическую энергию.
Решение
В соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого
тела (2.7)
момент действующих сил М связан с угловым ускорением
β
форму-
лой
β
⋅=
zz
I
M
, где I
z
- момент инерции маховика относительно оси вра-
щения. Угловое ускорение можно найти, воспользовавшись его определением
0
0
2πω
ω 2π 2π 2π 4π
βω2 sin cos sin .
ττ τ τ τ
d
tt t
dt
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
==⋅ ⋅ =
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
Тогда
0
2πω
4π
sin
ττ
M
It
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
и подстановка заданных значений времени t
= 1 c и
τ
= 4 с приводит к результату М = 0.
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется по фор-
муле
2
2
ω
I
T =
. Тогда
2
4
0
ω
2π
sin
2 τ
I
Tt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
. Подставив заданные значения
времени
t = 1 c и
τ
= 4 с, получаем 493
2
2
0
==
ω
I
T
Дж.
Замечание: Полученное значение кинетической энергии равно работе, ко-
торую может совершить маховик при торможении после отключения двигателя.
Пример 10
Человек стоит в центре скамьи Жуковского
и вместе с ней вращается по инерции (рис. 2.6) с
частотой n
1
= 0,5 с
–1
. В вытянутых руках человек
держит по гире массой m = 2 кг каждая. Исход-
ное расстояние между гирями l
1
= 1,6 м. Какой
будет частота вращения n
2
скамьи с человеком,
когда он опустит руки и расстояние между гиря-
ми l
2
станет равным 0,4 м? Считать, что момент
инерции тела человека и скамьи относительно
оси вращения не меняется и равен I
0
= 1,6 кг
.
м
2
.
Рис. 2.6.
Маховик, имеющий момент инерции I = 1 кг.м2, начинают раскручивать
⎛ 2π ⎞
так, что его угловая скорость меняется по закону ω = ω0 sin 2 ⎜ t ⎟ , где τ = 4
⎝ τ ⎠
с, ω0 = 31,4 рад/с. Определит момент внешних сил, действующих на маховик
через 1 с после начала движения и запасенную к этому моменту времени кине-
тическую энергию.
Решение
В соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого
тела (2.7) момент действующих сил М связан с угловым ускорением β форму-
лой M z = I z ⋅ β , где Iz - момент инерции маховика относительно оси вра-
щения. Угловое ускорение можно найти, воспользовавшись его определением
dω 2π ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 2πω0 ⎛ 4π ⎞
β= = ω0 ⋅ 2 sin ⎜ t ⎟ ⋅ cos ⎜ t ⎟ = sin ⎜ t ⎟ .
dt τ ⎝ τ ⎠ ⎝ τ ⎠ τ ⎝ τ ⎠
2πω0 ⎛ 4π ⎞
Тогда M = I sin ⎜ t ⎟ и подстановка заданных значений времени t
τ ⎝ τ ⎠
= 1 c и τ = 4 с приводит к результату М = 0.
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется по фор-
Iω 2 Iω02 4 ⎛ 2π ⎞
муле T= . Тогда T= sin ⎜ t ⎟ . Подставив заданные значения
2 2 ⎝ τ ⎠
Iω 02
времени t = 1 c и τ = 4 с, получаем T= = 493 Дж.
2
Замечание: Полученное значение кинетической энергии равно работе, ко-
торую может совершить маховик при торможении после отключения двигателя.
Пример 10
Человек стоит в центре скамьи Жуковского
и вместе с ней вращается по инерции (рис. 2.6) с
частотой n1 = 0,5 с–1. В вытянутых руках человек
держит по гире массой m = 2 кг каждая. Исход-
ное расстояние между гирями l1 = 1,6 м. Какой
будет частота вращения n2 скамьи с человеком,
когда он опустит руки и расстояние между гиря-
ми l2 станет равным 0,4 м? Считать, что момент
инерции тела человека и скамьи относительно
оси вращения не меняется и равен I0 = 1,6 кг.м2.
Рис. 2.6.
