Статистическая физика и термодинамика. Камзолов С.К - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22
Искомую величину мож-
но определить как произведе-
ние общего количества моле-
кул (в данной задаче
N
A
) и ве-
роятности
Δ
Р того, что от-
дельная молекула имеет ско-
рость в заданном интервале от
0 до
0,001V
НВ
(ей соответству-
ет площадь заштрихованного
участка на рис. 4.3). Эта веро-
ятность находится интегриро-
ванием функции распределе-
ния (4.4)
0,001
0
Δ ()
НВ
V
A
NN FVdV
=
⋅
∫
.
Процесс интегрирования можно существенно упростить, если учесть, что
по условию в заданном диапазоне V
<<
V
НВ
. С учетом (4.5) это неравенство
можно переписать в виде
2
1
2
mV
kT
〈
〈 . Тогда выполняется приближение
2
2
2
1
2
mV
kT
mV
e
kT
−
≈− и подинтегральное выражение (4.4) можно существенно упро-
стить
2
3
0,001
2
2
2
0
Δ 4
2
НВ
mV
V
kT
A
m
NN e πVdV
πkT
−
⎛⎞
=⋅⋅⋅≈
⎜⎟
⎝⎠
∫
≈
3
0,001
2
2
2
0
41
22
НВ
V
A
mmV
π NVdV
πkT kT
⎛⎞
⎛⎞
⋅
−⋅⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∫
.
Как уже отмечалось
2
1
2
mV
kT
〈〈
. Поэтому стоящей в скобках величиной
2
2
mV
kT
можно пренебречь. Тогда
3
0,001
2
2
0
Δ 4
2
НВ
V
A
m
N π NVdV
πkT
⎛⎞
≈⋅⋅=
⎜⎟
⎝⎠
∫
3
0,001
3
2
0
4
23
НВ
V
A
mV
π N
πkT
⎛⎞
=
⋅=
⎜⎟
⎝⎠
3
2
93
4
10
32
A НВ
m
π NV
πkT
−
⎛⎞
⋅
⎜⎟
⎝⎠
.
Подставив значение
22
НВ
kT RT
V
mM
== , получаем искомое число моле-
кул
F(V)
0 0,001V
НВ
V
Рис. 4.3. Начальный участок графика распре-
деления Максвелла (см. рис. 4.2). 
                                                                 22
F(V)                                                                                 Искомую величину мож-
                                                                                но определить как произведе-
                                                                                ние общего количества моле-
                                                                                кул (в данной задаче NA) и ве-
                                                                                роятности ΔР того, что от-
                                                                                дельная молекула имеет ско-
                                                                                рость в заданном интервале от
                                                                                0 до 0,001VНВ (ей соответству-
                                                                                ет площадь заштрихованного
                                                                                участка на рис. 4.3). Эта веро-
0           0,001VНВ                        V                                   ятность находится интегриро-
Рис. 4.3. Начальный участок графика распре-                                     ванием функции распределе-
          деления Максвелла (см. рис. 4.2).                                     ния (4.4)
                                                                                                0,001VНВ
                                                                                     ΔN = N A       ∫      F (V ) ⋅ dV .
                                                                                                    0
    Процесс интегрирования можно существенно упростить, если учесть, что
по условию в заданном диапазоне V<< VНВ. С учетом (4.5) это неравенство
                             mV 2
можно переписать в виде           〈〈1 . Тогда выполняется приближение
                             2kT
        mV 2
    −              mV 2
e       2 kT   ≈1−      и подинтегральное выражение (4.4) можно существенно упро-
                   2kT
                                            3
                        0,001VНВ                         mV 2
                                   ⎛ m     ⎞2   −
стить ΔN = N A             ∫       ⎜      ⎟
                                   ⎝ 2πkT ⎠
                                            ⋅ e   2 kT ⋅ 4πV 2 ⋅ dV ≈

                           0
                                                     3
                                                                 0,001VНВ
                                    ⎛ m             ⎞2                      ⎛ mV 2 ⎞ 2
                               ≈ 4π ⎜
                                    ⎝ 2 πkT
                                            ⎟ NA ⋅
                                            ⎠
                                                                      ∫     ⎜1 −
                                                                            ⎝    2 kT
                                                                                      ⎟ ⋅V ⋅ dV .
                                                                                      ⎠
                                                                      0
                                        mV 2                                           mV 2
           Как уже отмечалось                〈〈1 . Поэтому стоящей в скобках величиной
                                        2kT                                            2kT
можно пренебречь. Тогда
                                    3                                                   3           0,001VНВ
                                           0,001VНВ
                        ⎛ m        ⎞2                                    ⎛ m          V3
                                                                                       ⎞2
               ΔN ≈ 4 π ⎜
                        ⎝ 2 πkT
                                ⎟ NA ⋅
                                ⎠
                                                ∫        V 2 ⋅ dV = = 4π ⎜        N
                                                                                ⎟ A
                                                                         ⎝ 2πkT ⎠
                                                                                    ⋅
                                                                                       3
                                                                                                               =
                                                0                                                   0
                                                                 3
                                          4 ⎛ m                 ⎞2
                                                             −9 3
                                           π⎜      ⎟ N A ⋅ 10 VНВ .
                                          3 ⎝ 2πkT ⎠
                                                     2kT   2 RT
           Подставив значение VНВ =                      =      , получаем искомое число моле-
                                                      m     M
кул

Страницы