Статистическая физика и термодинамика. Камзолов С.К - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

23
3
3
2
2
9914
424
Δ 10 10 4,5 10
32
3
AA
mkT
N π NN
πkT m
π
−−
⎛⎞
⎛⎞
≈⋅=⋅≈⋅
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
Пример 5(б)
Найти отношение
η
числа молекул водорода, проекции скоростей которых
V
x
лежат в интервале 3000-3010 м/с, к числу молекул водорода, имеющих про-
екции скоростей V
x
в интервале 1500-1505 м/с. Температура водорода 300 К
Решение
Так как заданные интервалы скоростей относительно небольшие, то за-
штрихованные участки для каждого из заданных интервалов скоростей на рис.
4.1 превращаются в узкие вертикальные полоски шириной
Δ
V
x1
и
Δ
V
x2
соответ-
ственно. Поэтому можно принять, что плотность вероятности f(V
x
) на каждом
интервале постоянна. Тогда формулу
(4.1) можно записать в виде
Δ
N =
N
.
f(V
x
)
.
Δ
V
x
и искомое отношение становится равным
11
22
()Δ
()Δ
x
x
x
x
NfV V
η
NfV V
⋅
⋅
=
⋅⋅
2
1
2
2
2
1
2
2
Δ
Δ
x
x
MV
kT
x
MV
kT
x
eV
eV
−
−−
= ,
где V
x1
= 3000 м/с,
Δ
V
x1
= 10 м/с, V
x2
= 1500 м/с,
Δ
V
x2
= 5 м/с. Выполним упро-
щения и произведем расчет
()
22
12
1
2
2
Δ
Δ
xx
M
VV
x
kT
x
V
η e
V
−−
=⋅
2,7
20,13е
−
=⋅ ≈ .
Пример 5(в)
Средняя энергия молекул гелия
<
Е
>
= 3,92
.
10
–21
Дж. Определить среднюю
скорость V
СР
молекул гелия при тех же условиях.
Решение
У одноатомной молекулы гелия только три поступательные степени сво-
боды. Поэтому ее средняя энергия определяется только поступательным дви-
жением и ее можно записать в виде
2
.
2
СР КВ
mV
E = . Тогда
.
2
СР КВ
E
V
m
= .
Используя формулы (4.7) и (4.8), можно установить связь между V
СР
и
V
СР.КВ
.
8
3
СР СР КВ
VV
π
=
16
3
πm
= , где масса молекулы гелия
A
M
m
N
= . 
                                                       23
                           3                                 3
              4 ⎛ m       ⎞2     −9 ⎛ 2kT      4            ⎞2
          ΔN ≈ π ⎜     ⎟ N A ⋅ 10 ⎜       ⎟ =     N A ⋅ 10−9 ≈ 4,5 ⋅ 1014 .
              3 ⎝ 2πkT ⎠            ⎝ m ⎠     3 π


     Пример 5(б)
     Найти отношениеη числа молекул водорода, проекции скоростей которых
Vx лежат в интервале 3000-3010 м/с, к числу молекул водорода, имеющих про-
екции скоростей Vx в интервале 1500-1505 м/с. Температура водорода 300 К

                                    Решение
     Так как заданные интервалы скоростей относительно небольшие, то за-
штрихованные участки для каждого из заданных интервалов скоростей на рис.
4.1 превращаются в узкие вертикальные полоски шириной ΔVx1 и ΔVx2 соответ-
ственно. Поэтому можно принять, что плотность вероятности f(Vx) на каждом
интервале постоянна. Тогда формулу (4.1) можно записать в виде ΔN =
N.f(Vx).ΔVx и искомое отношение становится равным
                                                                      MVx21
                                                                     −
                                   N ⋅ f (Vx1 ) ⋅ ΔVx1              e 2 kT ΔVx1
                          η=                             =                            ,
                                   N ⋅ f (Vx 2 ) ⋅ ΔVx 2            −−
                                                                       MVx22
                                                                   e 2 kT ΔVx 2
где Vx1 = 3000 м/с, ΔVx1 = 10 м/с, Vx2 = 1500 м/с, ΔVx2 = 5 м/с. Выполним упро-
щения и произведем расчет
                                 M
                            −        (
                                     Vx21 −Vx22   ) ΔVx1
                      η=e       2 kT              ⋅           = 2 ⋅ е −2,7 ≈ 0,13 .
                                                      ΔVx 2


    Пример 5(в)
    Средняя энергия молекул гелия <Е> = 3,92.10–21 Дж. Определить среднюю
скорость VСР молекул гелия при тех же условиях.

                                      Решение
     У одноатомной молекулы гелия только три поступательные степени сво-
боды. Поэтому ее средняя энергия определяется только поступательным дви-
жением и ее можно записать в виде
                               2
                           mVСР                        2 E
                       E =       . КВ
                                      . Тогда VСР.КВ =     .
                               2                        m
     Используя формулы (4.7) и (4.8), можно установить связь между VСР и
VСР.КВ
                   8   16 E                                  M
     VСР = VСР.КВ    =        , где масса молекулы гелия m =    .
                  3π    3πm                                  NA

Страницы