Статистическая физика и термодинамика. Камзолов С.К - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

25
()
() (0)
Uh
kT
nh n e
−
=⋅
0
mgh
kT
ne
−
= .
Отношение концентрации на высоте h
1
и h
2
(рис. 4.4) соответственно равно
21
()
2
1
mg h h
kT
n
e
n
−
−
= .
Решение этого уравнения относительно
Δ
h= h
2
– h
1
дает искомую величину
2
1
Δ ln
kT n
h
mg n
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
.
При вычислении ответа можно учесть, что
21 1
11
0,01
10,01
nn n
nn
−
==− и вос-
пользоваться приближением ln(1–
x) ≈ – x при x
<<
1.
Тогда
3
Δ 0,01 4, 2 10 м
kT
h
mg
−
==⋅
= 4,2 мм.
Теперь понятно, почему в безветренную погоду за городом в отсутствие
транспорта легко дышится.
Пример 6(в)
Найти среднее значение вертикальной координаты молекул воздуха в поле
тяготения Земли при температуре Т = 300 К. Считать температуру и уско-
рение свободного падения не изменяющимися по высоте.
Решение
Среднее значение координаты определяется по формуле (4.6)
0
()
СР
zzfzdz
∞
=⋅ ⋅
∫
, где f(z) — функция распределения молекул по коорди-
натам (распределение Больцмана
(4.2)). В поле тяготения эта функция имеет
вид
0
1
()
mgz
kT
mgz
kT
fz e
edz
−
∞
−
=
∫
.
Вычислим отдельно интеграл, стоящий в знаменателе
0
0
mgz mgz
kT kT
kT kT
edz e
mg mg
∞
∞
−−
=− =
∫
.
h
2
h
1
Рис. 4.4. 
                                                                 25
                                                                                              U ( h)         mgh
                                                                                          −              −
                                                      n(h) = n(0) ⋅ e = n0e .                  kT            kT

      h2                                   Отношение концентрации на высоте h1 и h2
                                      (рис. 4.4) соответственно равно
                                                                                           mg ( h −h )
                                                     n2    −     2 1


     h1                                                 =e      kT   .
                                                     n1
                            Решение этого уравнения относительно Δh= h2 – h1
                            дает искомую величину
        Рис. 4.4.                                       kT ⎛ n2 ⎞
                                                 Δh = −    ln ⎜ ⎟ .
                                                        mg ⎝ n1 ⎠
                                                     n    n − 0,01n1
    При вычислении ответа можно учесть, что 2 = 1                      = 1 − 0,01 и вос-
                                                     n1        n1
пользоваться приближением ln(1– x) ≈ – x при x << 1.
                  kT
    Тогда Δh =       0,01 = 4, 2 ⋅ 10−3 м = 4,2 мм.
                  mg
    Теперь понятно, почему в безветренную погоду за городом в отсутствие
транспорта легко дышится.


    Пример 6(в)
    Найти среднее значение вертикальной координаты молекул воздуха в поле
тяготения Земли при температуре Т = 300 К. Считать температуру и уско-
рение свободного падения не изменяющимися по высоте.

                                    Решение
      Среднее значение координаты определяется по формуле (4.6)
           ∞
      zСР = ∫ z ⋅ f ( z ) ⋅ dz , где f(z) — функция распределения молекул по коорди-
           0
натам (распределение Больцмана (4.2)). В поле тяготения эта функция имеет
                                                       mgz
                                  1                −
вид              f ( z) = ∞       mgz
                                               e       kT    .
                              −
                         ∫e       kT dz

                         0
      Вычислим отдельно интеграл, стоящий в знаменателе
                                      ∞        mgz                           mgz ∞
                                           −                      kT     −               kT
                                      ∫e       kT dz         =−
                                                                  mg
                                                                     e       kT      =
                                                                                         mg
                                                                                            .
                                      0                                         0

Страницы