Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§9. Дифракция волн
119
находим максимальный порядок дифракционного максимума
8
мкм5.0
мкм4
max
==
λ
=
d
n .
Пример 9.3. Квадратное отверстие освещается параллельным пучком
солнечного света, падающего нормально к плоскости отверстия. Найти
размер изображения отверстия на экране, удаленном на l = 50 м от него.
Сторона отверстия равна 0,2 см. За границу изображения на экране принять
положение дифракционного максимума первого порядка для наиболее
отклоняемых лучей (видимый спектр – 400–700 нм). Плоскость экрана
параллельна плоскости отверстия.
Решение. По аналогии с решением Примера 9.2 напряженность
электрического поля дифрагировавшей волны можно определить при
помощи соотношения
∫∫
−−
−
−=
2/
2/
2/
2/
2
0
'
'
exp'
'
exp),(
b
b
b
b
dy
l
ikyy
dx
l
ikxx
b
E
yxE ,
где E
0
– амплитуда вектора напряженности электрического поля. Здесь оси
x' и y' лежат в плоскости отверстия, а оси x и y параллельны осям x' и y',
соответственно, и лежат в плоскости наблюдения изображения. Эта
плоскость находится на расстоянии l от плоскости отверстия. Введем углы
дифракции ϑ
1
и ϑ
2
в соответствии с выражениями lxtg /
1
=ϑ и lytg /
2
=ϑ .
При малых углах дифракции (на больших расстояниях) ϑ≈ϑ sintg , и
напряженность поля в дифрагирующей волне определяется выражением
∫∫
−−
ϑ−ϑ−=
2/
2/
2
2/
2/
1
2
0
)sin'exp(')sin'exp(
b
b
b
b
dyikydxikx
b
E
E .
В результате интегрирования получаем )sinc()sinc(
0
βα= EE , где
2
sin
1
ϑ
=α
kb
и
2
sin
2
ϑ
=β
kb
. Наблюдаемая интенсивность
пропорциональна
2
E
. Таким образом, на экране, установленном за щелью,
будет наблюдаться дифракционная картина в виде системы темных и
светлых квадратов.
Угловое положение дифракционных максимумов первого порядка
определяется выражением
2
3
2
sin
π
=
ϑ
kb
или
b2/3sin
λ
=
ϑ
. На расстоянии l
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    §9. Дифракция волн                                                                          119

                    находим  максимальный                    порядок            дифракционного            максимума
                          d  4 мкм
                    nmax = =        =8.
                          λ 0.5 мкм

                    Пример 9.3. Квадратное отверстие освещается параллельным пучком
                    солнечного света, падающего нормально к плоскости отверстия. Найти
                    размер изображения отверстия на экране, удаленном на l = 50 м от него.
                    Сторона отверстия равна 0,2 см. За границу изображения на экране принять
                    положение дифракционного максимума первого порядка для наиболее
                    отклоняемых лучей (видимый спектр – 400–700 нм). Плоскость экрана
                    параллельна плоскости отверстия.
                    Решение. По аналогии с решением Примера 9.2 напряженность
                    электрического поля дифрагировавшей волны можно определить при
                    помощи соотношения
                                                      b/2                       b/2
                                                E0           ikxx'                ikyy' 
                                 E ( x, y ) =    2     ∫
                                                b −b / 2
                                                         exp −
                                                               l 
                                                                    dx'          ∫
                                                                                exp −
                                                                                      l 
                                                                                           dy ' ,
                                                                         −b / 2
                    где E0 – амплитуда вектора напряженности электрического поля. Здесь оси
                    x' и y' лежат в плоскости отверстия, а оси x и y параллельны осям x' и y',
                    соответственно, и лежат в плоскости наблюдения изображения. Эта
                    плоскость находится на расстоянии l от плоскости отверстия. Введем углы
                    дифракции ϑ1 и ϑ2 в соответствии с выражениями tgϑ1 = x / l и tgϑ 2 = y / l .
                    При малых углах дифракции (на больших расстояниях) tgϑ ≈ sin ϑ , и
                    напряженность поля в дифрагирующей волне определяется выражением
                                            b/ 2                            b/2
                                       E0
                                 E=
                                       b2       ∫   exp(−ikx' sin ϑ1 )dx'     ∫ exp(−iky' sin ϑ 2 )dy .
                                            −b / 2                          −b / 2
                    В   результате интегрирования получаем E = E 0 sinc(α)sinc(β) , где
                        kb sin ϑ1              kb sin ϑ 2
                    α=               и     β=             .    Наблюдаемая          интенсивность
                            2                      2
                    пропорциональна E 2 . Таким образом, на экране, установленном за щелью,
                    будет наблюдаться дифракционная картина в виде системы темных и
                    светлых квадратов.
                    Угловое положение дифракционных максимумов первого порядка
                                              kb sin ϑ 3π
                    определяется выражением            =     или sin ϑ = 3λ / 2b . На расстоянии l
                                                 2         2




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы