ВУЗ:
Составители:
8
Задание 8. Ряд Тейлора .
Разложить следующие функции в ряд Тейлора по степеням z – z
0
и определить области сходимости полученных рядов :
1.
()
1
2
2
+z
z
, z
0
= 1 . 2.
z
−1
1
, z
0
= 2 .
3.
z
−1
1
, z
0
= 3i . 4.
56
1
2
+− z
z
, z
0
= 3 .
5.
23
1
2
++ z
z
, z
0
= – 4 . 6.
65
52
2
+−
−
z
z
z
, z
0
= 0 .
7.
()()
41
22
−+
zz
z
, z
0
= 0 . 8.
()
()
1
2
2
3
−+
z
z
z
, z
0
= 0 .
9.
()
()
4
1
1
2
2
2
+
−
z
z
, z
0
= 0 .
10.
52
2
+− z
z
z
, z
0
= 1 .
Задание 9. Ряды Лорана.
Cледующие функции разложить в ряд Лорана по степеням z – z
0
в кольце ∆ или в окрестности бесконечно удаленной точки и определить
области сходимости полученных рядов :
1.
()()
41
1
22
+−
zz
, z
0
= 0 ,
∆
:
2>z
.
2.
4
1
2
−
z
в окрестности z
0
= ∞ .
3.
23
1
2
+−
+
z
z
z
в окрестности z
0
= ∞ .
4.
12
2
3
+− z
z
z
в окрестности z
0
= ∞ .
5.
()
1
3
4
+z
z
в окрестности z
0
= ∞ .
6.
1
2
+
z
z
в окрестности z
0
= ∞ .
7.
()()
21
4
+−
z
z
z
, z
0
= 0 ,
∆
:
21 << z
.
8.
()
()
21
2
++
z
z
z
, z
0
= 0 , ∆ : 21 << z .
9.
()
zz
22
9
1
−
, z
0
= 1 , ∆ :
211 <−< z
.
10.
()()
21
3
−+ zz
z
, z
0
= – 1 , ∆ :
310 <+< z
.
8
За да н ие 8. Ря д Т ейл ора .
Разложи т ьслед ую щи е ф ункци и в ряд Т ей лора по ст епеням z – z0
и опред ели т ьобласт и сход и мост и получ енны х ряд ов :
1. z2 , z0 = 1 . 2.
1
, z0 = 2 .
( z + 1 )2 1− z
1 1
3. , z0 = 3i . 4. , z0 = 3 .
1− z z 2
− 6 z+5
1 2z − 5
5. , z0 = – 4 . 6. , z0 = 0 .
z + 2
3 z+2 z − 5z + 6
2
z z3
7.
(z 2
)(
+ 1 z2 − 4 ) , z0 = 0 . 8.
( )
z 2 + 2 (z − 1 )
, z0 = 0 .
1 z
9. , z0 = 0 . 10. , z0 = 1 .
( z2 − 1 ) (z 2 2
+4 ) z − 2z + 5
2
За да н ие 9. Ря ды Лора н а .
Cлед ую щи е ф ункци и разложи т ьв ряд Лорана по ст епеням z – z0
в кольце ∆ и ли в окрест ност и бесконеч но уд аленной т оч ки и опред ели ть
област и сход и мост и получ енны х ряд ов :
1
1. , z0 = 0 , ∆ : z > 2 .
(z 2
)(
− 1 z2 + 4 )
1
2. в окрест ност и z0 = ∞ .
z −4
2
z +1
3. в окрест ност и z0 = ∞ .
z2 − 3 z + 2
3
z
4. в окрест ност и z0 = ∞ .
z − 2z +1
2
z4
5. в окрест ност и z0 = ∞ .
( z + 1 )3
z
6. в окрест ност и z0 = ∞ .
z +1
2
z4
7. , z0 = 0 , ∆ : 1 < z < 2 .
( z − 1 )( z + 2 )
z
z0 = 0 , ∆ : 1 < z < 2 .
8.
(z 2
)
+1 (z+ 2 )
,
1
z0 = 1 , ∆ : 1 < z − 1 < 2 .
9.
(z 2
− 9 z2 ) ,
z3
10. , z0 = – 1 , ∆ : 0 < z + 1 < 3 .
(z + 1 )(z − 2 )
