Неопределенный интеграл. Карасева А.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

21
8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
8.1. Интегралы вида dxxxR )cos,(sin
Интегралы данного вида, где R – рациональная функция двух
переменных, приводятся к интегралам от рациональных функций с
помощью универсальной тригонометрической подстановки
,
2
t
x
tg
где
x
, при этом используются соотношения [1, гл. 10, §12; 2, гл. 3,
§26.1]:
.
1
2
,
1
1
cos,
1
2
sin
22
2
2
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
П р и м е р 16. Найти интеграл .
11cos7sin5
xx
dx
Р е ш е н и е. Воспользуемся универсальной тригонометрической
подстановкой:

18104
2
11
1
1(7
1
25
)1(
2
11cos7sin5
2
2
)2
2
2
tt
dt
t
t
t
t
t
dt
xx
dx
.
47
5
2
4
47
2
47
54
47
2
4
47
)]
4
5
(2[
)]
4
5
(2[
2
C
x
tg
arctgC
t
arctg
t
td
В некоторых частных случаях интеграл от тригонометрической
функции можно найти иначе.
Для интеграла
dxxxR )cos,(sin
, где )cos,(sin
x
x
R
– нечетная
относительно
x
sin функция, может быть использована подстановка
t
x
cos [4,гл.9,§4.1].
П р и м е р 17. Найти интеграл .
cos3sin5
sin
22
dx
x
x
x
Р е ш е н и е. Проверим относительно
x
sin нечетность подынтегральной
функции:
)cos,(sin
cos)sin(
sin
)cos,sin( xxR
x3x5
x
xxR
22
.

Страницы