Неопределенный интеграл. Карасева А.Г. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

38
CexQdxexP
ax
n
ax
n
)()(,
где
)(xQ
n
– многочлен степени n с неопределенными коэффициентами,
которые найдем, дифференцируя обе части равенства по
x и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
x [3, гл. 5, §5.2].
П р и м е р 42. Найти интеграл
.)71523(
323
dxexxx
x
Р е ш е н и е. Имеем 71523)(
23
3
xxxxP , отсюда многочлен с
неопределенными коэффициентами третьей степени имеет вид
.)(
23
3
DCxBxAxxQ Тогда
CeDCxBxAxI
x
323
)( .
Дифференцируем по
x:
xxx
eDCxBxAxeCBxAxexxx
32332323
)(3)23()71523(
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x и решая систему
линейных уравнений, получим
27
98
D
9
35
C
3
5
B1A ,,,
и
.)
27
98
9
35
3
5
(
323
CexxxI
x
10.3. Интегралы вида
dx xxQxxPe
mn
x
)sin)(cos)((
Имеем под знаком интеграла многочлены степеней n и m;
, –
любые числа. Следует применить метод интегрирования по частям или
метод неопределенных коэффициентов, используя равенство:
CxxSxxRedxxxQxxPe
ll
x
mn
x
,)sin)(cos)(()sin)(cos)((
где
)( и )( xSxR
ll
– многочлены с неизвестными коэффициентами степени
),max( nm
l
, которые найдем, дифференцируя обе части равенства по x и
приравнивая коэффициенты при одинаковых выражениях
xx
n
cos и
x
x
n
sin
[3, гл. 5, §5.2].
П р и м е р 43. Найти интеграл
.cos)1( xdxxe
x
Р е ш е н и е. Заметим, что 1)(
xxP
n
– многочлен n = 1 степени, тогда
.)(,)(
11
DCxxSBAxxR

Страницы