Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

140 Глава 5. Линейные операторы и уравнения
2) Единичный (тождественный) оператор. Оператор, действую-
щий в пространстве X, называется единичным, если он оставляет без
изменения все векторы пространства X. Единичный оператор будем
обозначать через I.
3) Оператор проектирования. Пусть L — линейное подпростран-
ство евклидова пространства X. Проектором (оператором проекти-
рования) пространства X на L называется отображение P, ставящее
в соответствие каждому вектору x ∈ X его проекцию y на L (см.
с. 134).
Покажем, что P — линейный оператор. Пусть x
1
, x
2
∈ X, α, β ∈C.
Пусть y
1
= P x
1
, y
2
= P x
2
. По определению проекции вектора на
подпространство имеем
x
1
= P x
1
+ z
1
, (1.2)
x
2
= P x
2
+ z
2
, (1.3)
причем
(z
1
, h) = 0, (z
2
, h) = 0 для любого вектора h ∈ L. (1.4)
Умножая почленно равенства (1.2), (1.3) на α, β соответственно, а
затем складывая полученные равенства, можем написать, что
αx
1
+ βx
2
= (αP x
1
+ βP x
2
) + αz
1
+ βz
2
. (1.5)
Из (1.4) вытекает, что (αz
1
+ βz
2
, h) = 0 для любого вектора h ∈ L, а
это означает, что вектор αP x
1
+βP x
2
есть проекция вектора αx
1
+βx
2
на подпространство L, т. е. P (αx
1
+βx
2
) = αP x
1
+βP x
2
и, стало быть,
линейность оператора P доказана.
4) Умножение матрицы на вектор. Пусть A(m, n) — прямоуголь-
ная матрица. Поставим в соответствие каждому вектору x ∈ C
n
век-
тор y ∈ C
m
при помощи равенства
y = Ax. (1.6)
Операция умножения матрицы на вектор — линейная операция
(см. с. 80), поэтому соотношение (1.6) определяет линейный опера-
тор, действующий из C
n
в C
m
.
2. Полезно отметить, что если в пространстве X
n
фиксирован
некоторый базис {e
j
}
n
j=1
, то определяя линейный оператор A, доста-
точно описать его действие на векторы базиса, так как для любого
вектора x =
n
P
j=1
ξ
j
e
j
имеем Ax =
n
P
j=1
ξ
j
Ae
j
.
140                               Глава 5. Линейные операторы и уравнения


    2) Единичный (тождественный) оператор. Оператор, действую-
щий в пространстве X, называется единичным, если он оставляет без
изменения все векторы пространства X. Единичный оператор будем
обозначать через I.
    3) Оператор проектирования. Пусть L — линейное подпростран-
ство евклидова пространства X. Проектором (оператором проекти-
рования) пространства X на L называется отображение P , ставящее
в соответствие каждому вектору x ∈ X его проекцию y на L (см.
с. 134).
    Покажем, что P — линейный оператор. Пусть x1 , x2 ∈ X, α, β ∈ C.
Пусть y 1 = P x1 , y 2 = P x2 . По определению проекции вектора на
подпространство имеем
                            x1 = P x 1 + z 1 ,                      (1.2)
                            x2 = P x 2 + z 2 ,                      (1.3)
причем
      (z 1 , h) = 0, (z 2 , h) = 0 для любого вектора h ∈ L.        (1.4)
Умножая почленно равенства (1.2), (1.3) на α, β соответственно, а
затем складывая полученные равенства, можем написать, что
              αx1 + βx2 = (αP x1 + βP x2 ) + αz 1 + βz 2 .          (1.5)
Из (1.4) вытекает, что (αz 1 + βz 2 , h) = 0 для любого вектора h ∈ L, а
это означает, что вектор αP x1 +βP x2 есть проекция вектора αx1 +βx2
на подпространство L, т. е. P (αx1 +βx2 ) = αP x1 +βP x2 и, стало быть,
линейность оператора P доказана.
    4) Умножение матрицы на вектор. Пусть A(m, n) — прямоуголь-
ная матрица. Поставим в соответствие каждому вектору x ∈ Cn век-
тор y ∈ Cm при помощи равенства
                                y = Ax.                             (1.6)
Операция умножения матрицы на вектор — линейная операция
(см. с. 80), поэтому соотношение (1.6) определяет линейный опера-
тор, действующий из Cn в Cm .
   2. Полезно отметить, что если в пространстве Xn фиксирован
некоторый базис {ej }nj=1 , то определяя линейный оператор A, доста-
точно описать его действие на векторы базиса, так как для любого
            P
            n                      Pn
вектора x =    ξj ej имеем Ax =       ξj Aej .
             j=1                   j=1

Страницы