Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

138 Глава 4. Векторные пространства
Рис. 2. К доказательству теоремы 3.1.
доказано. Единственность этого представления и неравенство (3.2)
также, очевидно, следуют из теоремы 2.1. ¤
Разложение (3.1) можно интерпретировать следующим образом.
Обозначим через L
1
(e) одномерное подпространство, натянутое на
вектор e, т. е. множество всех векторов вида αe, где α ∈ C. Посколь-
ку представление вида (3.1) выполнено для любого вектора x ∈ X
n
,
то
X
n
= L
1
(e) ⊕ π
e
. (3.3)
Естественным обобщением представления (3.3) является следую-
щий результат.
3.2. Теорема. Пусть L — подпространство пространства X
n
,
обозначим через L
⊥
— ортогональное дополнение подпростран-
ства L, т. е. множество всех векторов пространства X
n
, орто-
гональных L. Тогда L
⊥
— подпространство пространства X
n
,
dim(L) + dim(L
⊥
) = n,
X
n
= L ⊕L
⊥
. (3.4)
Доказательство. Проверка того, что L
⊥
— подпространство
пространства X
n
тривиальна. Пусть {e
j
}
l
j=1
— ортогональный ба-
зис подпространства L, {f
k
}
m
k=1
— ортогональный базис подпростран-
ства L
⊥
. Покажем, что система векторов
{e
j
}
l
j=1
∪ {f
k
}
m
k=1
(3.5)
есть базис пространства X
n
, тогда теорема будет доказана. Если си-
стема векторов (3.5) не является базисом X
n
, то ее можно дополнить
до ортогонального базиса. Пусть h — один из векторов этого базиса,
ортогональный как векторам системы {e
j
}
l
j=1
, так и векторам систе-
мы {f
k
}
m
k=1
. Это означает, что h принадлежит одновременно L и L
⊥
,
следовательно, h = 0. Остается принять, что система векторов (3.5) —
базис пространства X
n
. ¤
138                                         Глава 4. Векторные пространства




                   Рис. 2. К доказательству теоремы 3.1.


доказано. Единственность этого представления и неравенство (3.2)
также, очевидно, следуют из теоремы 2.1. ¤
   Разложение (3.1) можно интерпретировать следующим образом.
Обозначим через L1 (e) одномерное подпространство, натянутое на
вектор e, т. е. множество всех векторов вида αe, где α ∈ C. Посколь-
ку представление вида (3.1) выполнено для любого вектора x ∈ Xn ,
то
                           Xn = L1 (e) ⊕ πe .                   (3.3)
   Естественным обобщением представления (3.3) является следую-
щий результат.
    3.2. Теорема. Пусть L — подпространство пространства Xn ,
обозначим через L⊥ — ортогональное дополнение подпростран-
ства L, т. е. множество всех векторов пространства Xn , орто-
гональных L. Тогда L⊥ — подпространство пространства Xn ,
                       dim(L) + dim(L⊥ ) = n,
                             Xn = L ⊕ L ⊥ .                           (3.4)

    Доказательство. Проверка того, что L⊥ — подпространство
пространства Xn тривиальна. Пусть {ej }lj=1 — ортогональный ба-
зис подпространства L, {f k }m
                             k=1 — ортогональный базис подпростран-
      ⊥
ства L . Покажем, что система векторов
                           {ej }lj=1 ∪ {f k }m
                                             k=1                      (3.5)
есть базис пространства Xn , тогда теорема будет доказана. Если си-
стема векторов (3.5) не является базисом Xn , то ее можно дополнить
до ортогонального базиса. Пусть h — один из векторов этого базиса,
ортогональный как векторам системы {ej }lj=1 , так и векторам систе-
мы {f k }m
         k=1 . Это означает, что h принадлежит одновременно L и L ,
                                                                   ⊥

следовательно, h = 0. Остается принять, что система векторов (3.5) —
базис пространства Xn . ¤

Страницы