Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

136 Глава 4. Векторные пространства
Более подробная запись этих условий дает систему линейных урав-
нений
m
X
i=1
η
i
(e
i
, e
k
) = (x, e
k
), k = 1, . . . , m. (2.8)
для отыскания η
1
, . . . , η
m
. Матрица этой системы — матрица Грама,
соответствующая базису {e
k
}
m
k=1
. Эта матрица невырождена (см. тео-
рему 1.2, с. 119), следовательно, система (2.8) однозначно разрешима
при любом x ∈ X, т. е. условие (2.6) позволяет однозначно определить
вектор y. ¤
Вектор y, удовлетворяющий условию (2.6), естественно назвать
ортогональной проекцией вектора x на подпространство L, а век-
тор z = x −y — перпендикуляром, опущенным из точки x на подпро-
странство L.
Заметим, что (x − y, y) = 0, поскольку y ∈ L, следователь-
но, (x, x) = (x − y + y, x − y + y) = (x − y, x − y) + (y, y), или
|x|
2
= |x −y|
2
+ |y|
2
. (2.9)
Это — уже встречавшаяся нам теорема Пифагора. Из (2.9) следует,
что |y|
2
6 |x|
2
. Это — так называемое неравенство Бесселя, показы-
вающее, что длина проекции не превосходит длины вектора.
Пример. Пусть L — подпространство арифметического пространства R
4
, натяну-
тое на векторы a
1
= (−3, 0, 7, 6), a
2
= (1, 4, 3, 2), a
3
= (2, 2, −2, −2). Найдем ортогональ-
ную проекцию вектора x = (14, −3, −6, −7) на подпространство L и перпендикуляр,
опущенный из точки x на подпространство L.
Введем в рассмотрение матрицу
A =
−3 0 7 6
1 4 3 2
2 2 −2 −2
,
строки которой образованы компонентами векторов a
1
, a
2
, a
3
. Определитель
d =
¯
¯
¯
¯
−3 0
1 4
¯
¯
¯
¯
,
составленный из элементов, стоящих на пересечении первых двух строк и первых двух
столбцов матрицы A не равен нулю, в то время как окаймляющие его определители
третьего порядка
d
0
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−3 0 7
1 4 3
2 2 −2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−3 0 7
−3 0 7
2 2 −2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
d
00
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−3 0 6
1 4 2
2 2 −2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−3 0 6
−3 0 6
2 2 −2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
136                                                   Глава 4. Векторные пространства


Более подробная запись этих условий дает систему линейных урав-
нений         m
             X
                 ηi (ei , ek ) = (x, ek ), k = 1, . . . , m. (2.8)
                    i=1
для отыскания η1 , . . . , ηm . Матрица этой системы — матрица Грама,
соответствующая базису {ek }m    k=1 . Эта матрица невырождена (см. тео-
рему 1.2, с. 119), следовательно, система (2.8) однозначно разрешима
при любом x ∈ X, т. е. условие (2.6) позволяет однозначно определить
вектор y. ¤
    Вектор y, удовлетворяющий условию (2.6), естественно назвать
ортогональной проекцией вектора x на подпространство L, а век-
тор z = x − y — перпендикуляром, опущенным из точки x на подпро-
странство L.
    Заметим, что (x − y, y) = 0, поскольку y ∈ L, следователь-
но, (x, x) = (x − y + y, x − y + y) = (x − y, x − y) + (y, y), или
                                |x|2 = |x − y|2 + |y|2 .                              (2.9)
Это — уже встречавшаяся нам теорема Пифагора. Из (2.9) следует,
что |y|2 6 |x|2 . Это — так называемое неравенство Бесселя, показы-
вающее, что длина проекции не превосходит длины вектора.
     Пример. Пусть L — подпространство арифметического пространства R4 , натяну-
тое на векторы a1 = (−3, 0, 7, 6), a2 = (1, 4, 3, 2), a3 = (2, 2, −2, −2). Найдем ортогональ-
ную проекцию вектора x = (14, −3, −6, −7) на подпространство L и перпендикуляр,
опущенный из точки x на подпространство L.
     Введем в рассмотрение матрицу
                                                           
                                        −3 0         7    6
                                 A= 1 4             3    2 ,
                                          2 2 −2 −2

строки которой образованы компонентами векторов a1 , a2 , a3 . Определитель
                                     ¯     ¯
                                     ¯−3 0¯
                                  d=¯¯     ¯,
                                        1 4¯

составленный из элементов, стоящих на пересечении первых двух строк и первых двух
столбцов матрицы A не равен нулю, в то время как окаймляющие его определители
третьего порядка                ¯         ¯ ¯           ¯
                                ¯−3 0   7¯¯ ¯¯−3 0    7¯¯
                                ¯
                          d0 = ¯¯ 1 4   3¯¯ = ¯¯−3 0  7¯¯
                                ¯ 2 2 −2¯ ¯ 2 2 −2¯
                                ¯         ¯ ¯           ¯
                                ¯−3 0   6¯¯ ¯¯−3 0    6¯¯
                                ¯
                         d00 = ¯¯ 1 4   2¯¯ = ¯¯−3 0  6¯¯
                                ¯ 2 2 −2¯ ¯ 2 2 −2¯

Страницы