Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

134 Глава 4. Векторные пространства
1.2. Следствие. Пусть L
1
, L
2
— подпространства n-мерного
пространства X
n
, причем dim L
1
+ dim L
2
> n. Тогда L
1
∩L
2
6= {0}.
Доказательство. Поскольку L
1
+ L
2
— подпространство про-
странства X
n
, то dim(L
1
+ L
2
) 6 n, но тогда (см. (1.1))
dim(L
1
∩ L
2
) = dim(L
1
) + dim(L
2
) − dim(L
1
+ L
2
) > 1. ¤
Если L
1
∩L
2
= {0}, то сумма подпространств L
1
и L
2
называется
прямой и обозначается через L
1
u L
2
.
Всякий вектор x ∈ L
1
u L
2
однозначно определяет свои состав-
ляющие из L
1
и L
2
. Действительно, пусть x = x
1
+ x
2
, x = ˜x
1
+ ˜x
2
,
где x
1
, ˜x
1
∈ L
1
, x
2
, ˜x
2
∈ L
2
. Тогда x
1
− ˜x
1
+ x
2
− ˜x
2
= 0, следователь-
но, x
1
− ˜x
1
= −(x
2
− ˜x
2
). Отсюда вытекает, что вектор x
1
− ˜x
1
∈ L
1
,
а x
1
− ˜x
1
∈ L
2
. По предположению L
1
∩ L
2
= {0}, следователь-
но, x
1
− ˜x
1
= 0, т. е. x
1
= ˜x
1
. Равенство x
2
= ˜x
2
доказывается точно
так же.
Будем говорить, что подпространства L
1
и L
2
евклидова про-
странства ортогональны (пишут L
1
⊥L
2
), если (x, y) = 0 для всех
векторов x ∈ L
1
, y ∈ L
2
. Сумму ортогональных подпространств бу-
дем называть ортогональной и обозначать через L
1
⊕ L
2
.
Ортогональная сумма является прямой. В самом деле, если L
1
⊥L
2
и x ∈ L
1
∩L
2
, то x ортогонален сам себе, т. е. (x, x) = 0, следователь-
но, x = 0.
2. Проекция вектора на подпространство. Пусть L — подпро-
странство евклидова пространства X, x — вектор из X. Вектор y ∈ L
назовем наилучшим приближением к вектору x, если
|x − y| 6 |x − z| для любого z ∈ L. (2.1)
2.1. Теорема. Для любого x ∈ X и любого конечномерного под-
пространства L ⊂ X существует единственное наилучшее прибли-
жение y ∈ L к x.
Доказательство. Если L = {0}, единственным наилучшим
приближением к x будет нулевой вектор. Поэтому далее полагаем,
что L 6= {0}. Пусть y и z — два произвольных вектора из L. Поло-
жим h = y − z. Ясно, что h ∈ L, причем
(x − z, x − z) = (x − z − h + h, x − z − h + h) =
= (x − y + h, x − y + h) =
= (x − y, x − y) + 2 Re(x − y, h) + (h, h), (2.2)
134                                          Глава 4. Векторные пространства


   1.2. Следствие. Пусть L1 , L2 — подпространства n-мерного
пространства Xn , причем dim L1 + dim L2 > n. Тогда L1 ∩ L2 6= {0}.
   Доказательство. Поскольку L1 + L2 — подпространство про-
странства Xn , то dim(L1 + L2 ) 6 n, но тогда (см. (1.1))
      dim(L1 ∩ L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ) − dim(L1 + L2 ) > 1. ¤
    Если L1 ∩ L2 = {0}, то сумма подпространств L1 и L2 называется
прямой и обозначается через L1 u L2 .
    Всякий вектор x ∈ L1 u L2 однозначно определяет свои состав-
ляющие из L1 и L2 . Действительно, пусть x = x1 + x2 , x = x̃1 + x̃2 ,
где x1 , x̃1 ∈ L1 , x2 , x̃2 ∈ L2 . Тогда x1 − x̃1 + x2 − x̃2 = 0, следователь-
но, x1 − x̃1 = −(x2 − x̃2 ). Отсюда вытекает, что вектор x1 − x̃1 ∈ L1 ,
а x1 − x̃1 ∈ L2 . По предположению L1 ∩ L2 = {0}, следователь-
но, x1 − x̃1 = 0, т. е. x1 = x̃1 . Равенство x2 = x̃2 доказывается точно
так же.
    Будем говорить, что подпространства L1 и L2 евклидова про-
странства ортогональны (пишут L1 ⊥L2 ), если (x, y) = 0 для всех
векторов x ∈ L1 , y ∈ L2 . Сумму ортогональных подпространств бу-
дем называть ортогональной и обозначать через L1 ⊕ L2 .
    Ортогональная сумма является прямой. В самом деле, если L1 ⊥L2
и x ∈ L1 ∩ L2 , то x ортогонален сам себе, т. е. (x, x) = 0, следователь-
но, x = 0.
   2. Проекция вектора на подпространство. Пусть L — подпро-
странство евклидова пространства X, x — вектор из X. Вектор y ∈ L
назовем наилучшим приближением к вектору x, если
                 |x − y| 6 |x − z| для любого z ∈ L.                     (2.1)

   2.1. Теорема. Для любого x ∈ X и любого конечномерного под-
пространства L ⊂ X существует единственное наилучшее прибли-
жение y ∈ L к x.
   Доказательство. Если L = {0}, единственным наилучшим
приближением к x будет нулевой вектор. Поэтому далее полагаем,
что L 6= {0}. Пусть y и z — два произвольных вектора из L. Поло-
жим h = y − z. Ясно, что h ∈ L, причем

 (x − z, x − z) = (x − z − h + h, x − z − h + h) =
                      = (x − y + h, x − y + h) =
                       = (x − y, x − y) + 2 Re(x − y, h) + (h, h), (2.2)

Страницы