Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Подпространства 133
x
2
= γ
21
g
1
+ γ
22
g
2
+ ··· + γ
2q
g
q
+ β
21
e
1
+ β
22
e
2
+ ··· + β
2m
e
m
∈ L
2
такие, что x = x
1
+ x
2
. Отсюда, очевидно, следует (1.3).
Осталось убедиться, что векторы (1.2) линейно независимы. Пред-
положим, что
α
1
f
1
+ α
2
f
2
+ ··· + α
p
f
p
+
+ β
1
e
1
+ β
2
e
2
+ ··· + β
m
e
m
+
+ γ
1
g
1
+ γ
2
g
2
+ ··· + γ
q
g
q
= 0. (1.4)
Тогда
α
1
f
1
+ α
2
f
2
+ ··· + α
p
f
p
=
= −(β
1
e
1
+ β
2
e
2
+ ··· + β
m
e
m
)−
− (γ
1
g
1
+ γ
2
g
2
+ ··· + γ
q
g
q
), (1.5)
следовательно, вектор α
1
f
1
+α
2
f
2
+···+α
p
f
p
принадлежит L
2
. С дру-
гой стороны, векторы f
1
, f
2
, . . . , f
p
входят в базис пространства L
1
,
поэтому α
1
f
1
+ α
2
f
2
+ ··· + α
p
f
p
∈ L
1
. Получается, что
α
1
f
1
+ α
2
f
2
+ ··· + α
p
f
p
∈ L
1
∩ L
2
,
значит, существуют числа
˜
β
1
, . . . ,
˜
β
m
такие, что
α
1
f
1
+ α
2
f
2
+ ··· + α
p
f
p
=
˜
β
1
e
1
+ ··· +
˜
β
m
e
m
.
Векторы f
1
, f
2
, . . . , f
p
, e
1
, . . . , e
m
линейно независимы, поэтому
˜
β
1
, . . . ,
˜
β
m
= 0,
α
1
, α
2
, . . . , α
p
= 0, (1.6)
и из (1.4) вытекает, что
β
1
e
1
+ β
2
e
2
+ ··· + β
m
e
m
+ γ
1
g
1
+ γ
2
g
2
+ ··· + γ
q
g
q
= 0.
Отсюда на основании линейной независимости векторов
e
1
, e
2
, . . . , e
m
, g
1
, g
2
, . . . , g
q
получаем, что
β
1
, β
2
, . . . , β
m
, γ
1
, γ
2
, . . . , γ
q
= 0. (1.7)
Таким образом, установлено, что если выполнено (1.4), то все ко-
эффициенты линейной комбинации, записанной в левой части этого
равенства, — нули, т. е. векторы (1.2) линейно независимы. ¤
§ 8. Подпространства                                                                133


  x2 = γ21 g 1 + γ22 g 2 + · · · + γ2q g q + β21 e1 + β22 e2 + · · · + β2m em ∈ L2
такие, что x = x1 + x2 . Отсюда, очевидно, следует (1.3).
   Осталось убедиться, что векторы (1.2) линейно независимы. Пред-
положим, что
 α1 f 1 + α 2 f 2 + · · · + α p f p +
                           + β 1 e1 + β 2 e2 + · · · + β m em +
                                           + γ1 g 1 + γ2 g 2 + · · · + γq g q = 0. (1.4)
Тогда
 α1 f 1 + α 2 f 2 + · · · + α p f p =
                         = −(β1 e1 + β2 e2 + · · · + βm em )−
                                           − (γ1 g 1 + γ2 g 2 + · · · + γq g q ), (1.5)
следовательно, вектор α1 f 1 +α2 f 2 +· · ·+αp f p принадлежит L2 . С дру-
гой стороны, векторы f 1 , f 2 , . . . , f p входят в базис пространства L1 ,
поэтому α1 f 1 + α2 f 2 + · · · + αp f p ∈ L1 . Получается, что
                    α1 f 1 + α 2 f 2 + · · · + α p f p ∈ L1 ∩ L2 ,
значит, существуют числа β̃1 , . . . , β̃m такие, что
              α1 f 1 + α2 f 2 + · · · + αp f p = β̃1 e1 + · · · + β̃m em .
Векторы f 1 , f 2 , . . . , f p , e1 , . . . , em линейно независимы, поэтому
                                  β̃1 , . . . , β̃m = 0,
                               α1 , α2 , . . . , αp = 0,                          (1.6)
и из (1.4) вытекает, что
        β1 e1 + β2 e2 + · · · + βm em + γ1 g 1 + γ2 g 2 + · · · + γq g q = 0.
Отсюда на основании линейной независимости векторов
                      e1 , e 2 , . . . , e m ,   g1, g2, . . . , gq
получаем, что
                   β1 , β2 , . . . , βm , γ1 , γ2 , . . . , γq = 0.               (1.7)
   Таким образом, установлено, что если выполнено (1.4), то все ко-
эффициенты линейной комбинации, записанной в левой части этого
равенства, — нули, т. е. векторы (1.2) линейно независимы. ¤

Страницы