Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

132 Глава 4. Векторные пространства
и базис подпространства L
1
можно дополнить до базиса подпростран-
ства L
2
.
Справедлива следующая
1.1. Теорема. Пусть L
1
, L
2
— конечномерные подпростран-
ства линейного пространства X. Тогда
dim(L
1
+ L
2
) = dim(L
1
) + dim(L
2
) − dim(L
1
∩ L
2
). (1.1)
Доказательство. Будем полагать, что L
1
∩ L
2
6= {0}. Случай,
когда L
1
∩ L
2
= {0}, проще и рассматривается аналогично.
Пусть векторы
e
1
, e
2
, . . . , e
m
образуют базис подпространства L
1
∩ L
2
. Дополним этот базис век-
торами
f
1
, f
2
, . . . f
p
до базиса подпространства L
1
, а векторами
g
1
, g
2
, . . . , g
q
до базиса подпространства L
2
. Если нам удастся установить, что век-
торы
f
1
, f
2
, . . . , f
p
, e
1
, e
2
, . . . , e
m
, g
1
, g
2
, . . . , g
q
(1.2)
образуют базис в L
1
+ L
2
, то теорема будет доказана.
Действительно, если векторы (1.2) — базис пространства L
1
+ L
2
,
то dim(L
1
+L
2
) = p+m+q. Очевидно, p+m+q = (p+m)+(q+m)−m,
но dim(L
1
) = p + m, dim(L
2
) = q + m, dim(L
1
∩ L
2
) = m.
Покажем, что если x ∈ L
1
+ L
2
, то найдутся числа
α
1
, α
2
, . . . , α
p
, β
1
, β
2
, . . . , β
m
, γ
1
, γ
2
, . . . , γ
q
такие, что
x = α
1
f
1
+ α
2
f
2
+ ··· + α
p
f
p
+
+ β
1
e
1
+ β
2
e
2
+ ··· + β
m
e
m
+
+ γ
1
g
1
+ γ
2
g
2
+ ··· + γ
q
g
q
. (1.3)
Для этого заметим, что по определению суммы подпространств най-
дутся векторы
x
1
= α
11
f
1
+ α
12
f
2
+ ··· + α
1p
f
p
+ β
11
e
1
+ β
12
e
2
+ ··· + β
1m
e
m
∈ L
1
,
132                                                      Глава 4. Векторные пространства


и базис подпространства L1 можно дополнить до базиса подпростран-
ства L2 .
    Справедлива следующая

   1.1. Теорема. Пусть L1 , L2 — конечномерные подпростран-
ства линейного пространства X. Тогда
          dim(L1 + L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ) − dim(L1 ∩ L2 ).                          (1.1)

   Доказательство. Будем полагать, что L1 ∩ L2 6= {0}. Случай,
когда L1 ∩ L2 = {0}, проще и рассматривается аналогично.
   Пусть векторы
                          e1 , e 2 , . . . , e m
образуют базис подпространства L1 ∩ L2 . Дополним этот базис век-
торами
                         f 1, f 2, . . . f p
до базиса подпространства L1 , а векторами
                                      g1, g2, . . . , gq
до базиса подпространства L2 . Если нам удастся установить, что век-
торы
       f 1, f 2, . . . , f p,      e1 , e2 , . . . , e m ,   g1, g2, . . . , gq         (1.2)
образуют базис в L1 + L2 , то теорема будет доказана.
    Действительно, если векторы (1.2) — базис пространства L1 + L2 ,
то dim(L1 +L2 ) = p+m+q. Очевидно, p+m+q = (p+m)+(q+m)−m,
но dim(L1 ) = p + m, dim(L2 ) = q + m, dim(L1 ∩ L2 ) = m.
    Покажем, что если x ∈ L1 + L2 , то найдутся числа
         α1 , α2 , . . . , α p ,     β1 , β2 , . . . , β m ,    γ1 , γ2 , . . . , γ q
такие, что

 x = α1 f 1 + α2 f 2 + · · · + α p f p +
                       + β 1 e1 + β 2 e2 + · · · + β m em +
                                            + γ1 g 1 + γ2 g 2 + · · · + γq g q . (1.3)
Для этого заметим, что по определению суммы подпространств най-
дутся векторы
x1 = α11 f 1 + α12 f 2 + · · · + α1p f p + β11 e1 + β12 e2 + · · · + β1m em ∈ L1 ,

Страницы