Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Подпространства 131
называется прямой, проходящей через точку a
1
в направлении векто-
ра a
2
. Показать, что множество L является подпространством тогда
и только тогда, когда векторы a
1
, a
2
линейно зависимы.
Пусть L
1
, L
2
— подпространства пространства X. Множество L
всех векторов вида a
1
+ a
2
, где a
1
∈ L
1
, a
2
∈ L
2
называется суммой
подпространств L
1
, L
2
. Используют обозначение: L = L
1
+ L
2
.
Так определенное множество L — подпространство. Действитель-
но, пусть векторы x, y ∈ L. Это означает, что существуют векторы a
1
и b
1
∈ L
1
, a
2
, b
2
∈ L
2
такие, что x = a
1
+ a
2
, y = b
1
+ b
2
. Пусть α, β —
произвольные комплексные числа. Тогда
αx + βy = α(a
1
+ a
2
) + β(b
1
+ b
2
) = (αa
1
+ βb
1
) + (αa
2
+ βb
2
).
Поскольку L
1
— подпространство, вектор αa
1
+ βb
1
принадлежит L
1
.
Точно так же, вектор αa
2
+ βb
2
принадлежит L
2
, следовательно, век-
тор αx + βy принадлежит L.
Пересечение подпространств L
1
, L
2
, т. е. множество всех век-
торов, принадлежащих как L
1
, так и L
2
, также является подпро-
странством. Действительно, пусть векторы x, y ∈ L
1
∩L
2
. Для любо-
го комплексного числа α вектор αx принадлежит как L
1
, так и L
2
,
т. е. αx ∈ L
1
∩L
2
. Аналогично для любого β вектор βy ∈ L
1
∩L
2
, но
тогда, очевидно, и αx + βy ∈ L
1
∩ L
2
.
Система векторов {e
k
}
m
k=1
⊂ L называется базисом подпростран-
ства L, если она линейно независима и любой вектор x ∈ L пред-
ставим в виде линейной комбинации векторов из {e
k
}
m
k=1
. Число m
при этом будем назвать размерностью подпространства. Размер-
ность подпространства L обозначают через dim(L).
Подпространству, состоящему только из нулевого вектора, будем
приписывать размерность, равную нулю. Это подпространство будем
обозначать через {0}.
Упражнение. Описать суммы и пересечения всевозможных
подпространств пространства V
3
.
Для того, чтобы подпространство L конечномерного простран-
ства X
n
совпадало с X
n
, необходимо и достаточно выполнения равен-
ства dim(L) = n. Справедливость этого утверждения сразу следует
из того, что любые n линейно независимых векторов пространства X
n
образуют его базис (см. с. 124).
Очевидно, что базис {e
k
}
m
k=1
любого подпространства L из X
n
можно дополнить до базиса {e
k
}
n
k=1
всего пространства X
n
. Точно так
же, если L
1
и L
2
— подпространства и L
1
⊂ L
2
, то dim(L
1
) 6 dim(L
2
)
§ 8. Подпространства                                                    131


называется прямой, проходящей через точку a1 в направлении векто-
ра a2 . Показать, что множество L является подпространством тогда
и только тогда, когда векторы a1 , a2 линейно зависимы.
    Пусть L1 , L2 — подпространства пространства X. Множество L
всех векторов вида a1 + a2 , где a1 ∈ L1 , a2 ∈ L2 называется суммой
подпространств L1 , L2 . Используют обозначение: L = L1 + L2 .
    Так определенное множество L — подпространство. Действитель-
но, пусть векторы x, y ∈ L. Это означает, что существуют векторы a1
и b1 ∈ L1 , a2 , b2 ∈ L2 такие, что x = a1 + a2 , y = b1 + b2 . Пусть α, β —
произвольные комплексные числа. Тогда
   αx + βy = α(a1 + a2 ) + β(b1 + b2 ) = (αa1 + βb1 ) + (αa2 + βb2 ).
Поскольку L1 — подпространство, вектор αa1 + βb1 принадлежит L1 .
Точно так же, вектор αa2 + βb2 принадлежит L2 , следовательно, век-
тор αx + βy принадлежит L.
     Пересечение подпространств L1 , L2 , т. е. множество всех век-
торов, принадлежащих как L1 , так и L2 , также является подпро-
странством. Действительно, пусть векторы x, y ∈ L1 ∩ L2 . Для любо-
го комплексного числа α вектор αx принадлежит как L1 , так и L2 ,
т. е. αx ∈ L1 ∩ L2 . Аналогично для любого β вектор βy ∈ L1 ∩ L2 , но
тогда, очевидно, и αx + βy ∈ L1 ∩ L2 .
     Система векторов {ek }mk=1 ⊂ L называется базисом подпростран-
ства L, если она линейно независима и любой вектор x ∈ L пред-
ставим в виде линейной комбинации векторов из {ek }m   k=1 . Число m
при этом будем назвать размерностью подпространства. Размер-
ность подпространства L обозначают через dim(L).
     Подпространству, состоящему только из нулевого вектора, будем
приписывать размерность, равную нулю. Это подпространство будем
обозначать через {0}.
   Упражнение. Описать суммы и пересечения всевозможных
подпространств пространства V3 .
    Для того, чтобы подпространство L конечномерного простран-
ства Xn совпадало с Xn , необходимо и достаточно выполнения равен-
ства dim(L) = n. Справедливость этого утверждения сразу следует
из того, что любые n линейно независимых векторов пространства X n
образуют его базис (см. с. 124).
    Очевидно, что базис {ek }mk=1 любого подпространства L из Xn

можно дополнить до базиса {ek }nk=1 всего пространства Xn . Точно так
же, если L1 и L2 — подпространства и L1 ⊂ L2 , то dim(L1 ) 6 dim(L2 )

Страницы