Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 7. Базисы 129
где p = k − l. При k = l, т. е. при p = 0, справедливо равен-
ство (ϕ
k
, ϕ
k
) = n. Если p 6= 0, то сумма в правой части (10.2) есть
геометрическая прогрессия со знаменателем q
p
1
. Причем, посколь-
ку |p| = |k−l| < n, то q
p
1
6= 1. Используя формулу для суммы первых n
членов геометрической прогрессии, получим
n−1
X
j=0
(q
p
1
)
j
=
(q
p
1
)
n
− 1
q
p
1
− 1
, (10.3)
но (q
p
1
)
n
= (q
n
1
)
p
= 1, следовательно, (ϕ
k
, ϕ
l
) = 0 при k 6= l.
Коэффициенты Фурье ξ разложения любого вектора x ∈ C
n
по
базису (10.1):
x
j
=
n−1
X
k=0
ξ
k
q
j
k
, j = 0, . . . n − 1, (10.4)
в соответствии с (7.1) вычисляются по формулам
ξ
k
= (x, ϕ
k
)/(ϕ
k
, ϕ
k
) =
1
n
n−1
X
j=0
x
j
q
−j
k
, k = 0, . . . , n − 1. (10.5)
Базис {ϕ
k
}
n−1
k=0
принято называть базисом Фурье. Он широко ис-
пользуется, например, при цифровой обработке сигналов (звуковых,
видео).
В реальных задачах n (это длина обрабатываемого сигнала) ве-
лико, в связи с чем используются специальные приемы эконом-
ного вычисления сумм вида (10.4), (10.5), называемые алгоритма-
ми быстрого дискретного преобразования Фурье (FFT, Fast Fourier
Transformation).
11. Примеры базисов в пространстве Q
n
полиномов с комплекс-
ными коэффициентами степени не выше n.
1) Естественным базисом в этом пространстве называют базис,
составленный из степеней независимой переменной {1, z, . . . , z
n
}.
2) Как показано на с. 75, полиномы
ϕ
j
(z) =
(z −z
0
)(z −z
1
) ···(z −z
j−1
)(z −z
j+1
) ···(z −z
n
)
(z
j
− z
0
)(z
j
− z
1
) ···(z
j
− z
j−1
)(z
j
− z
j+1
) ···(z
j
− z
n
)
,
где j = 0, 1, . . . , n, а z
0
, z
1
, . . . , z
n
— произвольные попарно раз-
личные комплексные числа, также образуют базис в пространстве
полиномов. Этот базис принято называть базисом Лагранжа.
§ 7. Базисы                                                                             129


где p = k − l. При k = l, т. е. при p = 0, справедливо равен-
ство (ϕk , ϕk ) = n. Если p 6= 0, то сумма в правой части (10.2) есть
геометрическая прогрессия со знаменателем q1p . Причем, посколь-
ку |p| = |k−l| < n, то q1p 6= 1. Используя формулу для суммы первых n
членов геометрической прогрессии, получим
                                n−1
                                X                 (q1p )n − 1
                                       (q1p )j   = p          ,                   (10.3)
                                 j=0
                                                    q1 − 1

но (q1p )n = (q1n )p = 1, следовательно, (ϕk , ϕl ) = 0 при k 6= l.
    Коэффициенты Фурье ξ разложения любого вектора x ∈ Cn по
базису (10.1):
                            n−1
                            X
                      xj =      ξk qkj , j = 0, . . . n − 1,        (10.4)
                                k=0
в соответствии с (7.1) вычисляются по формулам
                                         n−1
                            1X
                k      k
    ξk = (x, ϕ )/(ϕ , ϕ ) = k
                                  xj qk−j ,               k = 0, . . . , n − 1.   (10.5)
                            n j=0

              n−1
   Базис {ϕk }k=0 принято называть базисом Фурье. Он широко ис-
пользуется, например, при цифровой обработке сигналов (звуковых,
видео).
   В реальных задачах n (это длина обрабатываемого сигнала) ве-
лико, в связи с чем используются специальные приемы эконом-
ного вычисления сумм вида (10.4), (10.5), называемые алгоритма-
ми быстрого дискретного преобразования Фурье (FFT, Fast Fourier
Transformation).
    11. Примеры базисов в пространстве Qn полиномов с комплекс-
ными коэффициентами степени не выше n.
    1) Естественным базисом в этом пространстве называют базис,
составленный из степеней независимой переменной {1, z, . . . , z n }.
    2) Как показано на с. 75, полиномы
                 (z − z0 )(z − z1 ) · · · (z − zj−1 )(z − zj+1 ) · · · (z − zn )
    ϕj (z) =                                                                        ,
               (zj − z0 )(zj − z1 ) · · · (zj − zj−1 )(zj − zj+1 ) · · · (zj − zn )
где j = 0, 1, . . . , n, а z0 , z1 , . . . , zn — произвольные попарно раз-
личные комплексные числа, также образуют базис в пространстве
полиномов. Этот базис принято называть базисом Лагранжа.

Страницы