Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

128 Глава 4. Векторные пространства
9. Матрица T перехода от любого ортонормированного бази-
са {e
k
}
n
k=1
к другому ортонормированному базису {˜e
k
}
n
k=1
евклидова
пространства X
n
является унитарной. В самом деле, записывая вто-
рое равенство (4.1) более подробно, получим ˜e
k
=
n
P
j=1
t
jk
e
j
. Вследствие
ортонормированности базиса
˜
E
n
отсюда получаем, что
Ã
n
X
j=1
t
jk
e
j
,
n
X
j=1
t
jl
e
j
!
= (˜e
k
, ˜e
l
) = δ
kl
, k, l = 1, . . . , n.
Преобразуя левую часть последнего равенства с учетом ортонорми-
рованности базиса E
n
, получим, что
n
X
j=1
t
jk
t
jl
= δ
kl
, k, l = 1, . . . , n,
а это и означает, что матрица T унитарна (см. с. 88).
Важно отметить, что, как следует из только что выполненных вы-
кладок, справедливо и обратное утверждение, а именно, если базис E
ортонормирован, а матрица T унитарна, то то базис
e
E = E
n
T также
ортонормирован.
10. Примеры ортогональных базисов в пространстве C
n
.
1) Естественный базис {i
k
}
n
k=1
. Он ортонормирован относитель-
но стандартного скалярного произведения (докажите!).
2) Базис Фурье. Нам удобно будет нумеровать сейчас компоненты
вектора и базисные векторы от 0 до n − 1. Пусть
q
k
=
µ
cos
2πk
n
+ i sin
2πk
n
, k = 0, . . . , n − 1,
есть корни степени n из единицы, i — мнимая единица (см. § 1, гл. 1).
Введем в рассмотрение систему векторов {ϕ
k
}
n−1
k=0
, компоненты кото-
рых вычисляются по формулам
ϕ
k
j
= q
j
k
, j = 0, 1, . . . , n − 1, (10.1)
где k = 0, . . . , n − 1.
Покажем, что векторы {ϕ
k
}
n
k=1
образуют ортогональную систе-
му относительно стандартного скалярного произведения в простран-
стве C
n
. Заметим прежде всего, что q
k
= q
k
1
,
q
k
= q
−k
1
(проверьте!).
Поэтому, вычисляя скалярное произведение (ϕ
k
, ϕ
l
), получим
(ϕ
k
, ϕ
l
) =
n−1
X
j=0
q
(k−l)j
1
= 1 + (q
p
1
) + (q
p
1
)
2
+ ··· + (q
p
1
)
n−1
, (10.2)
128                                                   Глава 4. Векторные пространства


    9. Матрица T перехода от любого ортонормированного бази-
са {ek }nk=1 к другому ортонормированному базису {ẽk }nk=1 евклидова
пространства Xn является унитарной. В самом деле, записывая вто-
                                                  P
                                                  n
рое равенство (4.1) более подробно, получим ẽk =   tjk ej . Вследствие
                                                                  j=1
ортонормированности базиса E˜n отсюда получаем, что
      Ã n           n
                            !
        X           X
           tjk ej ,   tjl ej = (ẽk , ẽl ) = δkl , k, l = 1, . . . , n.
            j=1      j=1

Преобразуя левую часть последнего равенства с учетом ортонорми-
рованности базиса En , получим, что
                X n
                     tjk tjl = δkl , k, l = 1, . . . , n,
                     j=1

а это и означает, что матрица T унитарна (см. с. 88).
    Важно отметить, что, как следует из только что выполненных вы-
кладок, справедливо и обратное утверждение, а именно, если базис E
ортонормирован, а матрица T унитарна, то то базис Ee = En T также
ортонормирован.
    10. Примеры ортогональных базисов в пространстве Cn .
    1) Естественный базис {ik }nk=1 . Он ортонормирован относитель-
но стандартного скалярного произведения (докажите!).
    2) Базис Фурье. Нам удобно будет нумеровать сейчас компоненты
вектора и базисные векторы от 0 до n − 1. Пусть
               µ                    ¶
                    2πk         2πk
          qk = cos      + i sin       , k = 0, . . . , n − 1,
                     n           n
есть корни степени n из единицы, i — мнимая единица (см. § 1, гл. 1).
                                             n−1
Введем в рассмотрение систему векторов {ϕk }k=0  , компоненты кото-
рых вычисляются по формулам
                         ϕkj = qkj ,    j = 0, 1, . . . , n − 1,                  (10.1)
где k = 0, . . . , n − 1.
    Покажем, что векторы {ϕk }nk=1 образуют ортогональную систе-
му относительно стандартного скалярного произведения в простран-
стве Cn . Заметим прежде всего, что qk = q1k , q k = q1−k (проверьте!).
Поэтому, вычисляя скалярное произведение (ϕk , ϕl ), получим
                   n−1
                   X      (k−l)j
        k     l
      (ϕ , ϕ ) =         q1        = 1 + (q1p ) + (q1p )2 + · · · + (q1p )n−1 ,   (10.2)
                   j=0

Страницы