Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 7. Базисы 127
7. В евклидовом пространстве X
n
вычисление коэффициентов
разложения вектора x ∈ X
n
по любому базису {e
k
}
n
k=1
можно свести к
решению крамеровской системы линейных алгебраических уравнений
c эрмитовой матрицей. Действительно, умножим обе части равенства
ξ
1
e
1
+ ξ
2
e
2
+ ··· + ξ
n
e
n
= x
скалярно на вектор e
1
, затем на вектор e
2
и т. д. и, наконец, на век-
тор e
n
. Получим систему уравнений
(e
1
, e
1
)ξ
1
+ (e
2
, e
1
)ξ
2
+ ··· + (e
n
, e
1
)ξ
n
= (x, e
1
),
(e
1
, e
2
)ξ
1
+ (e
2
, e
2
)ξ
2
+ ··· + (e
n
, e
2
)ξ
n
= (x, e
2
),
··········································
(e
1
, e
n
)ξ
1
+ (e
2
, e
n
)ξ
2
+ ··· + (e
n
, e
n
)ξ
n
= (x, e
n
),
матрицей которой служит матрица Грама базиса {e
k
}
n
k=1
. Наиболее
просто эта система решается в случае, когда базис ортогонален, т. е.
когда матрица Грама диагональна. В этом случае получаем
ξ
k
= (x, e
k
)/(e
k
, e
k
), k = 1, . . . , n. (7.1)
Коэффициенты (7.1) называются коэффициентами Фурье разложе-
ния вектора x по ортогональной системе {e
k
}
n
k=1
.
8. Пусть x, y — векторы евклидова пространства X
n
и пусть
известны векторы ξ, η ∈ C
n
коэффициентов разложений x, y по ба-
зису E
n
, т. е. x = E
n
ξ, y = E
n
η. Тогда
(x, y) =
³
n
X
k=1
ξ
k
e
k
,
n
X
k=1
η
k
e
k
´
=
n
X
k,l=1
ξ
k
η
l
(e
k
, e
l
),
следовательно, для вычисления скалярного произведения (x, y) до-
статочно знать коэффициенты разложения векторов x, y по базису и
матрицу Грама этого базиса.
В случае, когда базис ортонормирован, получаем
(x, y) =
n
X
k=1
ξ
k
η
k
. (8.1)
Таким образом, скалярное произведение векторов можно подсчитать
как стандартное скалярное произведение коэффициентов разложения
этих векторов по любому ортонормированному базису.
§ 7. Базисы                                                                                       127


    7. В евклидовом пространстве Xn вычисление коэффициентов
разложения вектора x ∈ Xn по любому базису {ek }nk=1 можно свести к
решению крамеровской системы линейных алгебраических уравнений
c эрмитовой матрицей. Действительно, умножим обе части равенства
                           ξ 1 e1 + ξ 2 e2 + · · · + ξ n en = x
скалярно на вектор e1 , затем на вектор e2 и т. д. и, наконец, на век-
тор en . Получим систему уравнений
              (e1 , e1 )ξ1 + (e2 , e1 )ξ2 + · · · + (en , e1 )ξn = (x, e1 ),
              (e1 , e2 )ξ1 + (e2 , e2 )ξ2 + · · · + (en , e2 )ξn = (x, e2 ),
                ··········································
              (e1 , en )ξ1 + (e2 , en )ξ2 + · · · + (en , en )ξn = (x, en ),
матрицей которой служит матрица Грама базиса {ek }nk=1 . Наиболее
просто эта система решается в случае, когда базис ортогонален, т. е.
когда матрица Грама диагональна. В этом случае получаем
                     ξk = (x, ek )/(ek , ek ),               k = 1, . . . , n.                   (7.1)
Коэффициенты (7.1) называются коэффициентами Фурье разложе-
ния вектора x по ортогональной системе {ek }nk=1 .
    8. Пусть x, y — векторы евклидова пространства Xn и пусть
известны векторы ξ, η ∈ Cn коэффициентов разложений x, y по ба-
зису En , т. е. x = En ξ, y = En η. Тогда
                         ³X
                          n                n
                                           X                ´       n
                                                                    X
                                     k                  k
              (x, y) =            ξk e ,         ηk e           =           ξk η l (ek , el ),
                            k=1            k=1                      k,l=1

следовательно, для вычисления скалярного произведения (x, y) до-
статочно знать коэффициенты разложения векторов x, y по базису и
матрицу Грама этого базиса.
    В случае, когда базис ортонормирован, получаем
                                                 n
                                                 X
                                   (x, y) =                 ξk η k .                             (8.1)
                                                 k=1

Таким образом, скалярное произведение векторов можно подсчитать
как стандартное скалярное произведение коэффициентов разложения
этих векторов по любому ортонормированному базису.

Страницы