Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 7. Базисы 125
матрица T порядка n такая, что
˜
E
n
= E
n
T . Матрица T невырождена
(см. п. 2.5, с. 112). Поскольку E
n
— базис, существует вектор ξ ∈ C
n
такой, что x = E
n
ξ. Поскольку матрица T невырождена, можно найти
вектор
˜
ξ ∈ C
n
такой, что ξ = T
˜
ξ. В результате, получим соотноше-
ние x = E
n
T
˜
ξ =
˜
E
n
˜
ξ, совпадающее с (2.3).
Если пространство не является конечномерным, его называют
бесконечномерным.
3. Примеры конечномерных и бесконечномерных пространств.
1) Любые три некомпланарных вектора пространства V
3
образу-
ют базис (см. § 2, гл. 2). Пространство V
3
трехмерно.
2) Пространства C
n
, R
n
, очевидно, конечномерны. Их размер-
ность равна n.
3) Пространство Q
n
всех полиномов степени не выше n конечно-
мерно. Его размерность равна n. Базисом в пространстве Q
n
являет-
ся, например, система векторов {1, z, . . . , z
n
}, где z — комплексная
переменная.
4) Пространство всех полиномов бесконечномерно. Действитель-
но, в нем линейно независима система векторов {1, z, . . . , z
k
} при
любом, сколь угодно большом, целом k.
5) Пространство C[a, b] бесконечномерно, так как содержит поли-
номы с вещественными коэффициентами любого порядка.
4. Замена базиса. Пусть E
n
={e
k
}
n
k=1
,
˜
E
n
= {˜e
k
}
n
k=1
— базисы про-
странства X
n
. Как уже говорилось, E
n
,
˜
E
n
— эквивалентные системы
векторов, т. е. существуют квадратные матрицы T ,
e
T порядка n та-
кие, что
E
n
=
e
E
n
e
T ,
e
E
n
= E
n
T. (4.1)
Матрицу T называют матрицей перехода от базиса E
n
к базису
e
E
n
.
Матрицы T и
e
T взаимно обратны. Действительно, подставляя выра-
жение для
e
E
n
из второго равенства (4.1) в первое, получим E
n
= E
n
T
e
T .
Отсюда вследствие линейной независимости векторов базиса сразу
получаем (см. п. 2.5 с. 112), что
T
e
T = I. (4.2)
Пусть известны коэффициенты ξ разложения некоторого векто-
ра x ∈ X
n
по базису {e
k
}
n
k=1
и пусть задана матрица перехода T
к базису {˜e
k
}
n
k=1
. Получим формулу для вычисления коэффициен-
тов
˜
ξ разложения того же вектора x по базису {˜e
k
}
n
k=1
. В соответ-
ствии с (1.2) имеем x = E
n
ξ, но E
n
=
e
E
n
e
T =
e
E
n
T
−1
(см. (4.1), (4.2)),
§ 7. Базисы                                                            125


матрица T порядка n такая, что E˜n = En T . Матрица T невырождена
(см. п. 2.5, с. 112). Поскольку En — базис, существует вектор ξ ∈ Cn
такой, что x = En ξ. Поскольку матрица T невырождена, можно найти
вектор ξ˜ ∈ Cn такой, что ξ = T ξ.˜ В результате, получим соотноше-
ние x = En T ξ˜ = E˜n ξ,
                      ˜ совпадающее с (2.3).
    Если пространство не является конечномерным, его называют
бесконечномерным.
    3. Примеры конечномерных и бесконечномерных пространств.
    1) Любые три некомпланарных вектора пространства V3 образу-
ют базис (см. § 2, гл. 2). Пространство V3 трехмерно.
    2) Пространства Cn , Rn , очевидно, конечномерны. Их размер-
ность равна n.
    3) Пространство Qn всех полиномов степени не выше n конечно-
мерно. Его размерность равна n. Базисом в пространстве Qn являет-
ся, например, система векторов {1, z, . . . , z n }, где z — комплексная
переменная.
    4) Пространство всех полиномов бесконечномерно. Действитель-
но, в нем линейно независима система векторов {1, z, . . . , z k } при
любом, сколь угодно большом, целом k.
    5) Пространство C[a, b] бесконечномерно, так как содержит поли-
номы с вещественными коэффициентами любого порядка.
    4. Замена базиса. Пусть En ={ek }nk=1 , E˜n = {ẽk }nk=1 — базисы про-
странства Xn . Как уже говорилось, En , E˜n — эквивалентные системы
векторов, т. е. существуют квадратные матрицы T , Te порядка n та-
кие, что
                          En = Een Te, Een = En T.                    (4.1)
Матрицу T называют матрицей перехода от базиса En к базису Een .
Матрицы T и Te взаимно обратны. Действительно, подставляя выра-
жение для Een из второго равенства (4.1) в первое, получим En = En T Te.
Отсюда вследствие линейной независимости векторов базиса сразу
получаем (см. п. 2.5 с. 112), что

                                 T Te = I.                            (4.2)
   Пусть известны коэффициенты ξ разложения некоторого векто-
ра x ∈ Xn по базису {ek }nk=1 и пусть задана матрица перехода T
к базису {ẽk }nk=1 . Получим формулу для вычисления коэффициен-
тов ξ˜ разложения того же вектора x по базису {ẽk }nk=1 . В соответ-
ствии с (1.2) имеем x = En ξ, но En = Een Te = Een T −1 (см. (4.1), (4.2)),

Страницы