Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

124 Глава 4. Векторные пространства
······························
ξ
1
e
1
n
+ ξ
2
e
2
n
+ ··· + ξ
m
e
m
n
= x
n
.
Векторы {e
k
}
m
k=1
линейно независимы, поэтому на основании лем-
мы 2.2, с. 114, можно так переставить уравнения этой системы что
строки коэффициентов первых m уравнений будут линейно незави-
симы. Не желая менять обозначения, мы будем считать, что такая
перестановка уже выполнена. Вектор x находится в нашем распо-
ряжении, можем положить поэтому x
1
, . . . , x
m
= 0. Из первых m
уравнений системы вследствие линейной независимости строк их ко-
эффициентов тогда вытекает, что ξ
1
, . . . , ξ
m
= 0. Если положить,
например, x
m+1
= 1, то получим нелепое равенство.
2. Конечномерные пространства. Линейное пространство X на-
зывается конечномерным, если существуют векторы
E
n
= {e
1
, e
2
, . . . , e
n
}, (2.1)
образующие линейно независимую систему в пространстве X, и такие
что любой вектор x ∈ X представим в виде линейной комбинации
x =
n
X
k=1
ξ
k
e
k
= E
n
ξ, ξ ∈ C
n
. (2.2)
Говорят в этом случае, что векторы {e
k
}
n
k=1
образуют базис простран-
ства X. Число n называют размерностью пространства X. Линей-
ное пространство X размерности n будем обозначать через X
n
. Коэф-
фициенты разложения ξ
1
, . . . , ξ
n
называют координатами вектора x
в базисе {e
k
}
n
k=1
.
Координаты любого вектора x ∈ X
n
однозначно определяются
по базису {e
k
}
n
k=1
. Действительно, если наряду с разложением (2.2)
существует разложение x = E
n
˜
ξ, то, очевидно, E
n
(ξ −
˜
ξ) = 0, откуда
вследствие линейной независимости системы векторов {e
k
}
n
k=1
полу-
чаем, что ξ =
˜
ξ.
В n-мерном линейном пространстве X
n
любая система {˜e
k
}
n
k=1
,
состоящая из n линейно независимых векторов является базисом. Для
доказательства этого утверждения надо убедиться, что любой вектор
x ∈ X
n
представим в виде линейной комбинации
x =
˜
E
n
˜
ξ. (2.3)
По определению n-мерного пространства в нем существует базис E
n
.
Следовательно, любой вектор из
˜
E
n
представим в виде линейной ком-
бинации векторов базиса E
n
, иными словами, существует квадратная
124                                            Глава 4. Векторные пространства


                   ······························
                   ξ1 e1n + ξ2 e2n + · · · + ξm em
                                                 n = xn .
   Векторы {ek }mk=1 линейно независимы, поэтому на основании лем-
мы 2.2, с. 114, можно так переставить уравнения этой системы что
строки коэффициентов первых m уравнений будут линейно незави-
симы. Не желая менять обозначения, мы будем считать, что такая
перестановка уже выполнена. Вектор x находится в нашем распо-
ряжении, можем положить поэтому x1 , . . . , xm = 0. Из первых m
уравнений системы вследствие линейной независимости строк их ко-
эффициентов тогда вытекает, что ξ1 , . . . , ξm = 0. Если положить,
например, xm+1 = 1, то получим нелепое равенство.
   2. Конечномерные пространства. Линейное пространство X на-
зывается конечномерным, если существуют векторы
                         En = {e1 , e2 , . . . , en },                   (2.1)
образующие линейно независимую систему в пространстве X, и такие
что любой вектор x ∈ X представим в виде линейной комбинации
                         n
                         X
                    x=         ξk ek = En ξ,     ξ ∈ Cn .                (2.2)
                         k=1

Говорят в этом случае, что векторы {ek }nk=1 образуют базис простран-
ства X. Число n называют размерностью пространства X. Линей-
ное пространство X размерности n будем обозначать через Xn . Коэф-
фициенты разложения ξ1 , . . . , ξn называют координатами вектора x
в базисе {ek }nk=1 .
    Координаты любого вектора x ∈ Xn однозначно определяются
по базису {ek }nk=1 . Действительно, если наряду с разложением (2.2)
существует разложение x = En ξ,   ˜ то, очевидно, En (ξ − ξ)
                                                          ˜ = 0, откуда
вследствие линейной независимости системы векторов {e k }nk=1 полу-
чаем, что ξ = ξ.˜
    В n-мерном линейном пространстве Xn любая система {ẽk }nk=1 ,
состоящая из n линейно независимых векторов является базисом. Для
доказательства этого утверждения надо убедиться, что любой вектор
x ∈ Xn представим в виде линейной комбинации
                                         ˜
                                 x = E˜n ξ.                              (2.3)
По определению n-мерного пространства в нем существует базис E n .
Следовательно, любой вектор из E˜n представим в виде линейной ком-
бинации векторов базиса En , иными словами, существует квадратная

Страницы