Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 7. Базисы 123
§ 7. Базисы
1. Базисы в пространстве C
n
. Всякая линейно независимая си-
стема {e
k
}
n
k=1
(состоящая из n векторов) называется базисом про-
странства C
n
. Единичные векторы {i
k
}
n
k=1
образуют так называемый
естественный базис пространства C
n
.
Как показано в п. 1 § 6, для того, чтобы система {e
k
}
n
k=1
была ба-
зисом необходимо и достаточно, чтобы матрица E, столбцами которой
служат векторы e
1
, e
2
, . . . , e
n
, была невырожденной.
Если в пространстве C
n
введено скалярное произведение, то мож-
но пользоваться следующим критерием: для того, чтобы система n
векторов была базисом, необходимо и достаточно, чтобы матрица
Грама этой системы была невырожденной.
В п. 2 § 4, фактически, было показано что если {e
k
}
n
k=1
— базис
пространства C
n
, то любой вектор x ∈ C
n
, может быть представлен
в виде линейной комбинации
x = ξ
1
e
1
+ ξ
2
e
2
+ ··· + ξ
n
e
n
(1.1)
векторов базиса. Коэффициенты линейной комбинации (1.1) одно-
значно определяются по вектору x, так как удовлетворяют краме-
ровской системе линейных алгебраических уравнений
Eξ = x. (1.2)
Здесь ξ = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
) — столбец коэффициентов разложения век-
тора x по базису {e
k
}
n
k=1
.
Замечание. Если система линейно независимых векторов {e
k
}
m
k=1
из пространства C
n
содержит меньше, чем n векторов, то найдется
вектор x ∈ C
n
, который нельзя представить в виде линейной комби-
нации векторов системы {e
k
}
m
k=1
.
Будем искать числа ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
m
так, чтобы
ξ
1
e
1
+ ξ
2
e
2
+ ··· + ξ
m
e
m
= x,
где x — некоторый заданный вектор из C
n
. Более подробно:
ξ
1
e
1
1
+ ξ
2
e
2
1
+ ··· + ξ
m
e
m
1
= x
1
,
ξ
1
e
1
2
+ ξ
2
e
2
2
+ ··· + ξ
m
e
m
2
= x
2
,
······························
ξ
1
e
1
m
+ ξ
2
e
2
m
+ ··· + ξ
m
e
m
m
= x
m
,
ξ
1
e
1
m+1
+ ξ
2
e
2
m+1
+ ··· + ξ
m
e
m
m+1
= x
m+1
,
§ 7. Базисы                                                           123


                               § 7. Базисы

    1. Базисы в пространстве Cn . Всякая линейно независимая си-
стема {ek }nk=1 (состоящая из n векторов) называется базисом про-
странства Cn . Единичные векторы {ik }nk=1 образуют так называемый
естественный базис пространства Cn .
    Как показано в п. 1 § 6, для того, чтобы система {ek }nk=1 была ба-
зисом необходимо и достаточно, чтобы матрица E, столбцами которой
служат векторы e1 , e2 , . . . , en , была невырожденной.
    Если в пространстве Cn введено скалярное произведение, то мож-
но пользоваться следующим критерием: для того, чтобы система n
векторов была базисом, необходимо и достаточно, чтобы матрица
Грама этой системы была невырожденной.
    В п. 2 § 4, фактически, было показано что если {ek }nk=1 — базис
пространства Cn , то любой вектор x ∈ Cn , может быть представлен
в виде линейной комбинации
                      x = ξ 1 e1 + ξ 2 e2 + · · · + ξ n en          (1.1)
векторов базиса. Коэффициенты линейной комбинации (1.1) одно-
значно определяются по вектору x, так как удовлетворяют краме-
ровской системе линейных алгебраических уравнений
                                   Eξ = x.                          (1.2)
Здесь ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) — столбец коэффициентов разложения век-
тора x по базису {ek }nk=1 .
    Замечание. Если система линейно независимых векторов {ek}m k=1
из пространства Cn содержит меньше, чем n векторов, то найдется
вектор x ∈ Cn , который нельзя представить в виде линейной комби-
нации векторов системы {ek }m  k=1 .
    Будем искать числа ξ1 , ξ2 , . . . , ξm так, чтобы
                     ξ1 e1 + ξ2 e2 + · · · + ξm em = x,
где x — некоторый заданный вектор из Cn . Более подробно:
                     ξ1 e11 + ξ2 e21 + · · · + ξm em
                                                   1 = x1 ,

                     ξ1 e12 + ξ2 e22 + · · · + ξm em
                                                   2 = x2 ,
                    ······························
                    ξ1 e1m + ξ2 e2m + · · · + ξm em
                                                  m = xm ,
               ξ1 e1m+1 + ξ2 e2m+1 + · · · + ξm em
                                                 m+1 = xm+1 ,

Страницы