Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 6. Критерии линейной независимости. Ортогональные системы 121
поскольку h
2
— линейная комбинация линейно независимых векто-
ров, причем один из коэффициентов этой линейной комбинации не
равен нулю (он равен единице).
Выберем теперь число x
2,1
так, чтобы вектор h
2
был ортогонален
вектору h
1
. Записывая это условие, получим 0 = x
2,1
(h
1
, h
1
)+(a
2
, h
1
),
откуда x
2,1
= −(a
2
, h
1
)/(h
1
, h
1
). Итак, построены векторы h
1
, h
2
та-
кие, что (h
1
, h
2
) = 0, h
1
, h
2
6= 0.
Предположим теперь, что построены векторы h
1
, h
2
, . . . , h
k
та-
кие, что h
1
, h
2
, . . . , h
k
6= 0 и (h
i
, h
j
) = 0 для i 6= j, i, j = 1, . . . , k.
Будем разыскивать вектор h
k+1
в виде
h
k+1
= x
k+1,1
h
1
+ x
k+1,2
h
2
+ ··· + x
k+1,k
h
k
+ a
k+1
. (2.1)
При любых значениях коэффициентов x
k+1,1
, . . . , x
k+1,k
век-
тор h
k+1
не нуль. В самом деле, по построению векторы h
1
, h
2
, . . . , h
k
линейно выражаются через векторы системы {a
i
}
m
i=1
, причем так, что
в выражение для вектора h
j
входят векторы системы {a
i
}
m
i=1
с номе-
рами, не превосходящими j. Отсюда вытекает, что вектор h
k+1
есть
линейная комбинация линейно независимых векторов a
1
, a
2
, . . . , a
k+1
,
причем вектор a
k+1
входит в эту линейную комбинацию с коэффици-
ентом, равным единице.
Выберем числа x
k+1,1
, x
k+1,2
, . . . , x
k+1,k
так, чтобы вектор h
k+1
был ортогонален уже построенным векторам h
1
, h
2
, . . . , h
k
. Последо-
вательно выполняя эти условия, найдем x
k+1,1
= −(a
k+1
, h
1
)/(h
1
, h
1
),
x
k+1,2
= −(a
k+1
, h
2
)/(h
2
, h
2
), . . . , x
k+1,k
= −(a
k+1
, h
k
)/(h
k
, h
k
).
Продолжая описанный процесс, построим ортогональную систему
ненулевых векторов {h
i
}
m
i=1
. Полагая затем
b
i
= (|h
i
|)
−1
h
i
, i = 1, . . . , m, (2.2)
получим ортонормированную систему векторов {b
i
}
m
i=1
.
Как было установлено выше, система векторов {h
i
}
m
i=1
линейно
выражается через систему векторов {a
i
}
m
i=1
. Формулы (2.1) показы-
вают, что система векторов {a
i
}
m
i=1
линейно выражается через систе-
му векторов {h
i
}
m
i=1
, формулы (2.2) показывают, что системы {b
i
}
m
i=1
,
{h
i
}
m
i=1
эквивалентны. Таким образом, все три рассматриваемые си-
стемы векторов попарно эквивалентны.
Заметим, наконец, что векторы a
1
, b
1
пропорциональны, так как
по построению b
1
= (|a
1
|)
−1
a
1
. ¤
Замечание. Доказательство теоремы 2.1 конструктивно. Оно
содержит описание способа построения по любой линейно независи-
мой системе эквивалентной ортонормированной системы. Этот метод
§ 6. Критерии линейной независимости. Ортогональные системы                     121


поскольку h2 — линейная комбинация линейно независимых векто-
ров, причем один из коэффициентов этой линейной комбинации не
равен нулю (он равен единице).
    Выберем теперь число x2,1 так, чтобы вектор h2 был ортогонален
вектору h1 . Записывая это условие, получим 0 = x2,1 (h1 , h1 )+(a2 , h1 ),
откуда x2,1 = −(a2 , h1 )/(h1 , h1 ). Итак, построены векторы h1 , h2 та-
кие, что (h1 , h2 ) = 0, h1 , h2 6= 0.
    Предположим теперь, что построены векторы h1 , h2 , . . . , hk та-
кие, что h1 , h2 , . . . , hk 6= 0 и (hi , hj ) = 0 для i 6= j, i, j = 1, . . . , k.
Будем разыскивать вектор hk+1 в виде
            hk+1 = xk+1,1 h1 + xk+1,2 h2 + · · · + xk+1,k hk + ak+1 .         (2.1)
    При любых значениях коэффициентов xk+1,1 , . . . , xk+1,k век-
тор hk+1 не нуль. В самом деле, по построению векторы h1 , h2 , . . . , hk
линейно выражаются через векторы системы {ai }m             i=1 , причем так, что
в выражение для вектора h входят векторы системы {ai }m
                                 j
                                                                        i=1 с номе-
рами, не превосходящими j. Отсюда вытекает, что вектор hk+1 есть
линейная комбинация линейно независимых векторов a1 , a2 , . . . , ak+1 ,
причем вектор ak+1 входит в эту линейную комбинацию с коэффици-
ентом, равным единице.
    Выберем числа xk+1,1 , xk+1,2 , . . . , xk+1,k так, чтобы вектор hk+1
был ортогонален уже построенным векторам h1 , h2 , . . . , hk . Последо-
вательно выполняя эти условия, найдем xk+1,1 = −(ak+1 , h1 )/(h1 , h1 ),
xk+1,2 = −(ak+1 , h2 )/(h2 , h2 ), . . . , xk+1,k = −(ak+1 , hk )/(hk , hk ).
    Продолжая описанный процесс, построим ортогональную систему
ненулевых векторов {hi }m    i=1 . Полагая затем

                       bi = (|hi |)−1 hi ,   i = 1, . . . , m,                (2.2)
получим ортонормированную систему векторов {bi }m    i=1 .
    Как было установлено выше, система векторов {hi }m     i=1 линейно
                                           i m
выражается через систему векторов {a }i=1 . Формулы (2.1) показы-
вают, что система векторов {ai }m  i=1 линейно выражается через систе-
му векторов {h }i=1 , формулы (2.2) показывают, что системы {bi }m
               i m
                                                                   i=1 ,
  i m
{h }i=1 эквивалентны. Таким образом, все три рассматриваемые си-
стемы векторов попарно эквивалентны.
    Заметим, наконец, что векторы a1 , b1 пропорциональны, так как
по построению b1 = (|a1 |)−1 a1 . ¤
    Замечание. Доказательство теоремы 2.1 конструктивно. Оно
содержит описание способа построения по любой линейно независи-
мой системе эквивалентной ортонормированной системы. Этот метод

Страницы