Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

122 Глава 4. Векторные пространства
называется процессом ортогонализации Грама — Шмидта. Следует,
однако, иметь в виду, что в вычислительной практике процесс орто-
гонализации Грама — Шмидта используется очень редко, так как,
обычно, он подвержен сильному влиянию погрешностей округления.
Пример.Даны полиномы q
0
(x) ≡ 1, q
1
(x) = x, q
2
(x) = x
2
вещественной переме-
ной x. Используя метод ортогонализации Грама — Шмидта, построим полиномы p
0
,
p
1
, p
2
нулевой первой и второй степени, соответственно, ортонормированные в смысле
скалярного произведения, определяемого формулой
(f, g) =
1
Z
−1
f(x)g(x)dx.
Проводя вычисления в соответствии с методом Грама — Шмидта, получим ˜p
0
= q
0
≡ 1,
˜p
1
(x) = q
1
(x) − ˜p
0
(x)
1
Z
−1
q
1
(x)˜p
0
dx
1
Z
−1
˜p
2
0
(x)dx
−1
= x,
˜p
2
(x) = q
2
(x) − ˜p
0
(x)
1
Z
−1
q
2
(x)˜p
0
dx
1
Z
−1
˜p
2
0
(x)dx
−1
−
− ˜p
1
(x)
1
Z
−1
q
2
(x)˜p
1
dx
1
Z
−1
˜p
2
1
(x)dx
−1
= x
2
− 1/3,
p
0
(x) = ˜p
0
(x)
1
Z
−1
˜p
2
0
(x)
−1/2
= 1/
√
2, p
1
(x) = ˜p
1
(x)
1
Z
−1
˜p
2
1
(x)
−1/2
= x
p
3/2,
p
2
(x) = ˜p
2
(x)
1
Z
−1
˜p
2
2
(x)
−1/2
=
1
2
r
5
2
(3x
2
− 1).
Аналогично, можно строить полиномы более высоких степеней p
3
(x), . . . , p
n
(x),
применяя процесс ортогонализации Грама — Шмидта к полиномам 1, x, x
2
, . . . , x
n
при
произвольном целом положительном n. Полиномы p
0
(x), p
1
(x), . . . , p
n
(x), . . . называют
полиномами Лежандра. Справедлива так называемая формула Родрига
p
k
(x) =
r
2k + 1
2
1
k!2
k
d
k
dx
k
(x
2
− 1)
k
, k = 0, 1, . . .
Упражнение. Используя формулу Родрига и формулу интегрирования по ча-
стям, показать, что
1
Z
−1
p
k
(x)p
l
(x)dx = 0 при k 6= l, k, l = 0, 1, 2, . . . (2.3)
122                                                                      Глава 4. Векторные пространства


называется процессом ортогонализации Грама — Шмидта. Следует,
однако, иметь в виду, что в вычислительной практике процесс орто-
гонализации Грама — Шмидта используется очень редко, так как,
обычно, он подвержен сильному влиянию погрешностей округления.
      Пример.Даны полиномы q0 (x) ≡ 1, q1 (x) = x, q2 (x) = x2 вещественной переме-
ной x. Используя метод ортогонализации Грама — Шмидта, построим полиномы p 0 ,
p1 , p2 нулевой первой и второй степени, соответственно, ортонормированные в смысле
скалярного произведения, определяемого формулой

                                                          Z1
                                            (f, g) =           f (x)g(x)dx.
                                                          −1

Проводя вычисления в соответствии с методом Грама — Шмидта, получим p̃ 0 = q0 ≡ 1,
                                                                                            −1
                                                    Z1                      Z1
                    p̃1 (x) = q1 (x) − p̃0 (x)           q1 (x)p̃0 dx           p̃20 (x)dx       = x,
                                                   −1                     −1


                                                   1         −1
                                Z1                 Z
  p̃2 (x) = q2 (x) − p̃0 (x)         q2 (x)p̃0 dx  p̃20 (x)dx −
                                −1                 −1
                                                                                                        −1
                                                                 Z1                     Z1
                                                    − p̃1 (x)         q2 (x)p̃1 dx          p̃21 (x)dx       = x2 − 1/3,
                                                                −1                    −1

                                      −1/2                                                      −1/2
                           Z1                    √                                      Z1                       p
      p0 (x) = p̃0 (x)         p̃20 (x)    = 1/ 2,           p1 (x) = p̃1 (x)             p̃21 (x)     =x        3/2,
                        −1                                                            −1
                                                              −1/2          r
                                                   Z1
                                                                          1       5
                           p2 (x) = p̃2 (x)            p̃22 (x)       =           (3x2 − 1).
                                                                          2       2
                                               −1

    Аналогично, можно строить полиномы более высоких степеней p3 (x), . . . , pn (x),
применяя процесс ортогонализации Грама — Шмидта к полиномам 1, x, x 2 , . . . , xn при
произвольном целом положительном n. Полиномы p0 (x), p1 (x), . . . , pn (x), . . . называют
полиномами Лежандра. Справедлива так называемая формула Родрига
                           r
                             2k + 1 1 dk 2
                  pk (x) =                (x − 1)k , k = 0, 1, . . .
                               2 k!2k dxk

    Упражнение. Используя формулу Родрига и формулу интегрирования по ча-
стям, показать, что

                        Z1
                                pk (x)pl (x)dx = 0 при k 6= l, k, l = 0, 1, 2, . . .                                        (2.3)
                       −1

Страницы