Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

120 Глава 4. Векторные пространства
ний сможем написать, что
Ã
m
X
k=1
x
k
a
k
,
m
X
k=1
x
k
a
k
!
= 0,
следовательно,
x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ ··· + x
m
a
m
= 0. (1.4)
Напомним, что система векторов {a
i
}
m
i=1
линейно независима, значит
из (1.4) вытекает, что x
1
, x
2
, . . . , x
m
= 0. Таким образом, мы полу-
чили, что если линйная комбинация столбцов матрицы G обращается
в нуль, то все коэффициенты этой линейной комбинации равны ну-
лю. Это означает, что столбцы матрицы G линейно независимы, т. е.
матрица G невырождена. ¤
Пример. Исследуем на линейную зависимость векторы
x
1
= (1, 3, 3, 1, −2), x
2
= (3, 3, 1, −3, 2), x
3
= (1, 3, −1, 1, 3)
пространства R
5
. Введем на этом пространстве стандартное скалярное произведение и
составим матрицу Грама третьего порядка G = {(x
i
, x
j
)}
3
i,j=1
. Выполняя элементарные
вычисления, получим
G =
24 8 2
8 32 14
2 14 21
, det(G) = 2
4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6 2 1
2 8 7
1 7 21
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 2
4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 −40 −125
0 − 6 − 35
1 7 21
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 2
4
· 650,
т. е. векторы x
1
, x
2
, x
3
линейно независимы.
2. Система векторов {a
i
}
m
i=1
называется ортогональной, если все
векторы a
i
, i = 1, . . . , m, не нули и (a
i
, a
k
) = 0 при i 6= k. Мат-
рица Грама ортогональной системы — диагональная невырожденная
матрица. Очевидно, ортогональная система линейно независима.
Система векторов {a
i
}
m
i=1
называется ортонормированной, ес-
ли (a
i
, a
k
) = δ
ik
для i, k = 1, . . . , m. Матрица Грама ортонормирован-
ной системы — единичная матрица. Все векторы ортонормированной
системы имеют длину, равную единице.
2.1. Теорема Грама — Шмидта. Всякая линейно независи-
мая система {a
i
}
m
i=1
эквивалентна некоторой ортонормированной
системе {b
i
}
m
i=1
, причем вектор b
1
можно выбрать пропорциональ-
ным вектору a
1
.
Доказательство. Положим h
1
= a
1
, h
2
= x
2,1
h
1
+a
2
. Вектор h
1
не нуль, поскольку вектор a
1
как элемент линейно независимой си-
стемы не нуль. При любом значении x
2,1
вектор h
2
также не нуль,
120                                                          Глава 4. Векторные пространства


ний сможем написать, что
                   Ã m                            m
                                                                 !
                      X                           X
                                       xk a k ,         xk a k       = 0,
                                 k=1              k=1

следовательно,
                           x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = 0.                                (1.4)
Напомним, что система векторов {ai }m      i=1 линейно независима, значит
из (1.4) вытекает, что x1 , x2 , . . . , xm = 0. Таким образом, мы полу-
чили, что если линйная комбинация столбцов матрицы G обращается
в нуль, то все коэффициенты этой линейной комбинации равны ну-
лю. Это означает, что столбцы матрицы G линейно независимы, т. е.
матрица G невырождена. ¤
      Пример. Исследуем на линейную зависимость векторы

              x1 = (1, 3, 3, 1, −2),   x2 = (3, 3, 1, −3, 2),        x3 = (1, 3, −1, 1, 3)

пространства R5 . Введем на этом пространстве стандартное скалярное произведение и
составим матрицу Грама третьего порядка G = {(xi , xj )}3i,j=1 . Выполняя элементарные
вычисления, получим
                                    ¯        ¯     ¯                  ¯
           24 8 2                     ¯6 2 1 ¯       ¯0 −40 −125 ¯
                                      ¯        ¯     ¯                  ¯
     G =  8 32 14 , det(G) = 24 ¯¯2 8 7¯¯ = 24 ¯¯0 − 6 − 35 ¯¯ = 24 · 650,
            2 14 21                   ¯1 7 21¯       ¯1         7     21¯

т. е. векторы x1 , x2 , x3 линейно независимы.

    2. Система векторов {ai }m    i=1 называется ортогональной, если все
векторы a , i = 1, . . . , m, не нули и (ai , ak ) = 0 при i 6= k. Мат-
            i

рица Грама ортогональной системы — диагональная невырожденная
матрица. Очевидно, ортогональная система линейно независима.
    Система векторов {ai }m    i=1 называется ортонормированной, ес-
     i k
ли (a , a ) = δik для i, k = 1, . . . , m. Матрица Грама ортонормирован-
ной системы — единичная матрица. Все векторы ортонормированной
системы имеют длину, равную единице.
   2.1. Теорема Грама — Шмидта. Всякая линейно независи-
мая система {ai }m i=1 эквивалентна некоторой ортонормированной
системе {b }i=1 , причем вектор b1 можно выбрать пропорциональ-
          i m

ным вектору a1 .
    Доказательство. Положим h1 = a1 , h2 = x2,1 h1 +a2 . Вектор h1
не нуль, поскольку вектор a1 как элемент линейно независимой си-
стемы не нуль. При любом значении x2,1 вектор h2 также не нуль,

Страницы