Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 119 стр.

118                                             Глава 4. Векторные пространства


ненулевой, процесс продолжается. Если все такие определители — ну-
ли, то ранг матрицы равен r.
      Пример. Найдем ранг матрицы
                                                   
                                 2 −4  3  1       0
                               1 −2   1 −4       2
                           A=                        .
                                 0  1 −1  3       1
                                 4 −7  4 −4       5

Заметим, что в матрице A содержится минор
                                     ¯     ¯
                                     ¯−4 3¯
                                  d=¯¯     ¯,
                                       −2 1¯

не равный нулю. Минор третьего порядка
                        ¯           ¯
                        ¯2 −4     3¯¯      ¯      ¯ ¯      ¯
                        ¯                  ¯−2  1 ¯ ¯−4  3 ¯
                   d = ¯¯1 −2
                    0
                                  1¯¯ = 2 ¯¯      ¯−¯
                                                  ¯ ¯
                                                           ¯,
                        ¯0                   1 −1     1 −1¯
                             1 −1¯

окаймляющий минор d, не равен нулю, однако, оба минора четвертого порядка
      ¯             ¯ ¯                ¯ ¯             ¯       ¯        ¯
      ¯2 −4   3   1 ¯ ¯2 0      3    1 ¯ ¯2 0    3   1¯        ¯2
      ¯             ¯ ¯                ¯ ¯             ¯       ¯   3  1¯¯
      ¯1 −2   1 −4¯ ¯1 0        1 −4¯ ¯1 0       1 −4¯
      ¯0             =                    =               = − ¯¯1  1 −4¯¯ =
      ¯   1 −1    3¯¯ ¯¯0 1 −1       3¯¯ ¯¯0 1 −1    3¯¯       ¯
      ¯4 −7                                                      4 5 −7¯
              4 −4¯ ¯4 1        4 −4¯ ¯4 0       5 −7¯
                            ¯           ¯    ¯          ¯
                            ¯2  3    1¯¯     ¯2   3   1¯¯
                            ¯                ¯
                       = − ¯¯1  1 −4¯¯ = −2 ¯¯1   1 −4¯¯
                            ¯2  2 −8    ¯    ¯ 1  1 −4¯
и         ¯          ¯ ¯              ¯ ¯          ¯
          ¯2 −4  3 0 ¯ ¯2      0  3 0 ¯ ¯2 0   3 0¯       ¯          ¯
          ¯          ¯ ¯              ¯ ¯          ¯      ¯2     3 0¯¯
          ¯1 −2  1 2 ¯ ¯1      0  1 2 ¯ ¯1 0   1 2¯       ¯
          ¯0           =                =            = − ¯¯1     1 2¯¯ =
          ¯   1 −1 1¯¯ ¯¯0     1 −1 1¯¯ ¯¯0 1 −1 1¯¯      ¯4
          ¯4 −7      ¯   ¯4                                      5 4¯
                 4 5           1  4 5 ¯ ¯4 0   5 4¯
                             ¯        ¯     ¯      ¯
                             ¯2   3 0 ¯     ¯2 3 0 ¯
                             ¯        ¯     ¯      ¯
                             ¯
                         = − ¯1       ¯     ¯
                                  1 2¯ = −2 ¯1 1 2¯¯ ,
                             ¯2   2 4¯      ¯1 1 2¯
окаймляющие минор d 0 , очевидно, равны нулю, поэтому ранг матрицы A равен трем.


    § 6. Критерии линейной независимости. Ортогональные
                            системы

    1. Понятие ранга матрицы позволяет сформулировать следу-
ющий критерий линейной независимости системы векторов из про-
странства Cn .
    Для того, чтобы система векторов {ai }m                      n
                                          i=1 из пространства C бы-
ла линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы ранг матри-
цы A(n, m), столбцами которой служат векторы {ai }m i=1 , был равен m.