Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 118 стр.

§ 5. Ранг системы векторов. Ранг матрицы                            117


   2.4. Теорема. Пусть A(m, n) — произвольная матрица,
а B(m, m), C(n, n) — квадратные невырожденные матрицы. Тогда
                          rank(A) = rank(BA),                     (2.6)
                          rank(A) = rank(AC).                     (2.7)
   Доказательство. Для проверки справедливости равенства (2.6)
достаточно заметить, что если матрица B невырождена, то для ли-
нейной независимости системы столбцов Ba1 , . . . , Bap необходимо и
достаточно линейной независимости столбцов a1 , . . . , ap (проверьте!).
Справедливость (2.7) устанавливается затем переходом к транспони-
рованным матрицам. ¤
    2.5. Доказательство леммы 2.2 подсказывает следующий способ
вычисления ранга матрицы.
    1) Просматриваем элементы матрицы. Если все они нули, пола-
гаем ранг равным нулю и останавливаем процесс.
    2) Если найден элемент матрицы, отличный от нуля, то, пере-
ставляя соответствующие строки и столбцы матрицы, помещаем его
на место первого элемента первого столбца.
    3) Окаймляем элемент a11 , т. е. составляем определители второ-
го порядка, присоединяя к нему элементы других строк и столбцов
(например, элементы второй строки и второго столбца). Если все эти
определители второго порядка — нули, то, очевидно, у матрицы толь-
ко один линейно независимый столбец (и одна линейно независимая
строка). Значит ранг матрицы равен единице.
    4) Если обнаружен ненулевой определитель второго порядка, то
путем перестановки строк и столбцов матрицы превращаем этот опре-
делитель в определитель вида ∆2 (образованный элементами, стоя-
щими на перерсечении первых двух строк и первых двух столбцов)
и окаймлением строим определители третьего порядка, пока не полу-
чим среди них отличный от нуля и т. д.
    Если на каком-то шаге описанного алгоритма получен определи-
тель ∆r , не равный нулю, а все определители порядка r + 1, постро-
енные его окаймлением, — нули, то это означает, что ранг матрицы
равен r.
    Понятно, что на практике описанный процесс иногда может быть
ускорен. Именно, пусть удалось установить, что определитель, обра-
зованный элементами, стоящими на пересечении каких-то r строк и
каких-то r столбцов матрицы, не равен нулю. Строим окаймлением
этого определителя определители порядка r + 1. Если среди них есть