Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 116 стр.

§ 5. Ранг системы векторов. Ранг матрицы                                        115


    Доказательство. Прежде всего заметим, что перестановка
строк матрицы не может повлиять на линейную зависимость ее столб-
цов, и условимся в дальнейшем не менять обозначения для элементов
матрицы при перестановке ее строк.
    Так как среди линейно независимых столбцов не может быть нуле-
вого столбца, то в первом столбце матрицы A найдется хотя бы один
ненулевой элемент. Переставим строку, содержащую этот элемент, с
первой строкой матрицы A. Если r = 1, то лемма доказана.
    При r > 1, вычислим определитель ∆2 , составленный из элемен-
тов, стоящих на пересечении первых двух строк и первых двух столб-
цов преобразованной матрицы. Если он окажется равным нулю, то
будем вычислить определители второго порядка, используя элемен-
ты первых двух столбцов матрицы A, оставляя неподвижной первую
строку и подставляя на место второй строки одну за другой все по-
следующие строки матрицы A.
    Нетрудно убедится, что если все такие определители второго по-
рядка нули, то первые два столбца матрицы A пропорциональны,
чего по условию леммы быть не может. Поэтому найдется такая стро-
ка матрицы A, которая позволит образовать ненулевой определитель
второго порядка. Переставим найденную строку со второй строкой
матрицы A.
    Продолжим этот процесс, переходя к определителям большего по-
рядка, и представим себе, что на некотором шаге возникла такая ситу-
ация: определитель ∆p , составленный из элементов, стоящих на пере-
сечении первых p строк и первых p столбцов не нуль, а все определи-
тели порядка p + 1, составленные из элементов первых p + 1 столбцов
матрицы A и, последовательно, строк, начиная с p+1-й до n-й, равны
нулю. Покажем, что тогда первые p + 1 столбцов матрицы A линейно
зависимы.
    Разложим определитель ∆p+1 по элементам последней строки:
       α1 ap+1,1 + α2 ap+1,2 + · · · + αp ap+1,p + ∆p ap+1,p+1 = 0.            (2.1)
Подчеркнем, что ∆p 6= 0, а числа α1 , . . . , αp — алгебраические до-
полнения соответствующих элементов последней строки определите-
ля ∆p+1 . Важно отметить, что они зависят только от элементов пер-
вых p строк определителя ∆p+1 . Точно такие же вычисления можно
провести и для всех последующих строк матрицы A, поэтому
  α1 ai,1 + α2 ai,2 + · · · + αp ai,p + ∆p ai,p+1 = 0, i = p + 1, . . . , n.   (2.2)
   Рассмотрим теперь определитель ∆p+1 , в котором последняя стро-
ка образована элементами i-й строки матрицы A, где i — одно из