Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

114 Глава 4. Векторные пространства
мальной линейно независимой подсистемы {a
i
k
}
r
k=1
. Вследствие оче-
видного равенства
a
i
k
= a
i
k
+
m
X
i=1,i6=i
k
0a
i
справедливо и обратное, т. е. система {a
i
}
m
i=1
и любая ее максимальная
линейно независимой подсистема эквивалентны. Но тогда, очевидно,
эквивалентны и любые две максимальные линейно независимые под-
системы системы {a
i
}
m
i=1
. Отсюда в силу следствия 2.4, с. 112, выте-
кает, что любые две максимальные линейно независимые подсистемы
системы {a
i
}
m
i=1
имеют равные количества векторов. ¤
Полученный результат позволяет ввести следующее определение.
Рангом системы векторов пространства X называется количество
векторов ее максимальной линейно независимой подсистемы.
Например, ранг системы векторов a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, приведенной на
с. 113, равен двум.
Количество линейно независимых векторов пространства C
n
не
превосходит n. Поэтому ранг любой системы векторов из C
n
не пре-
восходит n.
Ясно, что система векторов {a
i
}
m
i=1
любого линейного простран-
ства X линейно независима тогда и только тогда, когда ее ранг ра-
вен m.
2. Ранг матрицы. Пусть A(n, m) — произвольная прямоугольная
матрица. Будем трактовать ее столбцы как систему векторов про-
странства C
n
и обозначим через r
c
ранг этой системы. Точно так же
строки матрицы будем трактовать как систему векторов простран-
ства C
m
и обозначать через r
s
ее ранг.
Справедлива следующая, на первый взгляд, неожиданная
2.1. Теорема. Для любой матрицы A(n, m) выполнено равен-
ство r
c
= r
s
.
При доказательстве теоремы будет использована
2.2. Лемма. Пусть у матрицы A(n, r), r 6 n, столбцы линей-
но независимы. Тогда можно так переставить строки матрицы A,
что определитель ∆
r
составленный из элементов первых r строк
преобразованной матрицы, будет отличен от нуля.
Замечание. Доказательство этой леммы во многом совпадает с
доказательством свойства 8) определителей (см. с. 68), тем не менее,
для удобства читателя мы приводим его полностью.
114                                       Глава 4. Векторные пространства


мальной линейно независимой подсистемы {aik }rk=1 . Вследствие оче-
видного равенства
                                 Xm
                       ik   ik
                      a =a +         0ai
                                   i=1,i6=ik

справедливо и обратное, т. е. система {ai }m
                                           i=1 и любая ее максимальная
линейно независимой подсистема эквивалентны. Но тогда, очевидно,
эквивалентны и любые две максимальные линейно независимые под-
системы системы {ai }m
                     i=1 . Отсюда в силу следствия 2.4, с. 112, выте-
кает, что любые две максимальные линейно независимые подсистемы
системы {ai }m
             i=1 имеют равные количества векторов. ¤
    Полученный результат позволяет ввести следующее определение.
Рангом системы векторов пространства X называется количество
векторов ее максимальной линейно независимой подсистемы.
    Например, ранг системы векторов a1 , a2 , a3 , a4 , приведенной на
с. 113, равен двум.
    Количество линейно независимых векторов пространства Cn не
превосходит n. Поэтому ранг любой системы векторов из Cn не пре-
восходит n.
    Ясно, что система векторов {ai }m
                                    i=1 любого линейного простран-
ства X линейно независима тогда и только тогда, когда ее ранг ра-
вен m.
    2. Ранг матрицы. Пусть A(n, m) — произвольная прямоугольная
матрица. Будем трактовать ее столбцы как систему векторов про-
странства Cn и обозначим через rc ранг этой системы. Точно так же
строки матрицы будем трактовать как систему векторов простран-
ства Cm и обозначать через rs ее ранг.
    Справедлива следующая, на первый взгляд, неожиданная
   2.1. Теорема. Для любой матрицы A(n, m) выполнено равен-
ство rc = rs .
      При доказательстве теоремы будет использована
    2.2. Лемма. Пусть у матрицы A(n, r), r 6 n, столбцы линей-
но независимы. Тогда можно так переставить строки матрицы A,
что определитель ∆r составленный из элементов первых r строк
преобразованной матрицы, будет отличен от нуля.
   Замечание. Доказательство этой леммы во многом совпадает с
доказательством свойства 8) определителей (см. с. 68), тем не менее,
для удобства читателя мы приводим его полностью.

Страницы