Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

112 Глава 4. Векторные пространства
2.2. Теорема. Любая система a
1
, a
2
, . . . , a
n
, b ∈ C
n
из n + 1
вектора линейно зависима.
Доказательство. Достаточно установить существование век-
тора x ∈ C
n
такого, что
x
1
a
1
+ ···+ x
n
a
n
= b,
или в более краткой форме такого, что
Ax = b, (2.1)
где A — матрица, столбцами которой являются компоненты векто-
ров a
k
, k = 1, 2, . . . , n. Если считать, что что система векторов {a
i
}
n
i=1
линейно зависима, то доказываемое утверждение верно. Если же она
линейно независима, то квадратная матрица A невырождена, т. е. си-
стема (2.1) крамеровская, и потому имеет единственное решение при
любой правой части b. ¤
Как очевидное следствие только что доказанного утверждения
получаем, что любая система векторов {a
i
}
m
i=1
∈ C
n
, m > n, линейно
зависима.
2.3. Теорема. Пусть система векторов A
m
= {a
i
}
m
i=1
про-
странства X линейно независима и линейно выражается через си-
стему B
p
= {b
i
}
p
i=1
. Тогда m 6 p.
Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть m > p.
По определению существует матрица X размера p × m такая,
что A
m
= B
p
X. Как следствие для любого вектора y ∈ C
m
име-
ем A
m
y = B
p
Xy. Столбцы матрицы X — векторы из простран-
ства C
p
. Их количество m > p, следовательно, они линейно зави-
симы. Поэтому существует вектор y ∈ C
m
, не равный нулю и такой,
что Xy = 0, но тогда и A
m
y = 0, т. е. вопреки предположению век-
торы a
1
, a
2
, . . . , a
m
линейно зависимы. ¤
2.4. Следствие. Две эквивалентные линейно независимые си-
стемы векторов имеют равные количества векторов.
2.5. Теорема. Пусть {a
k
}
m
k=1
— линейно независимые векто-
ры. Пусть система векторов {b
k
}
m
k=1
линейно выражается через си-
стему векторов {a
k
}
m
k=1
, т. е. существует квадратная матрица X
порядка m такая, что B
m
= A
m
X. Для того, чтобы система век-
торов {b
k
}
m
k=1
была линейно независимой необходимо и достаточно,
чтобы матрица X была невырожденной.
112                                          Глава 4. Векторные пространства


   2.2. Теорема. Любая система a1 , a2 , . . . , an , b ∈ Cn из n + 1
вектора линейно зависима.
   Доказательство. Достаточно установить существование век-
тора x ∈ Cn такого, что
                          x1 a1 + · · · + xn an = b,
или в более краткой форме такого, что
                                  Ax = b,                                (2.1)
где A — матрица, столбцами которой являются компоненты векто-
ров ak , k = 1, 2, . . . , n. Если считать, что что система векторов {ai }ni=1
линейно зависима, то доказываемое утверждение верно. Если же она
линейно независима, то квадратная матрица A невырождена, т. е. си-
стема (2.1) крамеровская, и потому имеет единственное решение при
любой правой части b. ¤
   Как очевидное следствие только что доказанного утверждения
получаем, что любая система векторов {ai }m      n
                                          i=1 ∈ C , m > n, линейно
зависима.
   2.3. Теорема. Пусть система векторов Am = {ai }m  i=1 про-
странства X линейно независима и линейно выражается через си-
стему Bp = {bi }pi=1 . Тогда m 6 p.
    Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть m > p.
По определению существует матрица X размера p × m такая,
что Am = Bp X. Как следствие для любого вектора y ∈ Cm име-
ем Am y = Bp Xy. Столбцы матрицы X — векторы из простран-
ства Cp . Их количество m > p, следовательно, они линейно зави-
симы. Поэтому существует вектор y ∈ Cm , не равный нулю и такой,
что Xy = 0, но тогда и Am y = 0, т. е. вопреки предположению век-
торы a1 , a2 , . . . , am линейно зависимы. ¤
   2.4. Следствие. Две эквивалентные линейно независимые си-
стемы векторов имеют равные количества векторов.
    2.5. Теорема. Пусть {ak }m     k=1 — линейно независимые векто-
                                  k m
ры. Пусть система векторов {b }k=1 линейно выражается через си-
стему векторов {ak }mk=1 , т. е. существует квадратная матрица X
порядка m такая, что Bm = Am X. Для того, чтобы система век-
торов {bk }m
           k=1 была линейно независимой необходимо и достаточно,
чтобы матрица X была невырожденной.

Страницы